Medidas de Tendencia Central para Datos sin agrupar

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La Media Aritmética Simple o Promedio:

La MEDIA es una medida frecuentemente utilizada para resumir la información obtenida en diferentes tipos de investigación , con ella se intenta describir o resumir las características de un conjunto de datos. Se define como la suma de todos los valores observados, dividida por el número total de observaciones.

En los datos sin agrupar la fórmula utilizada para calcular la Media es:

(1.1)

En la expresión anterior n representa el número de datos en la muestra, xi representa el valor correspondiente al i-ésimo dato y el símbolo representa la suma de los n datos, es decir:

Ejemplo 1de la Media para datos sin agrupar >>

La media aritmética está dada por:

Interpretación del resultado 137.5: en promedio la presión arterial sistólica en el grupo de los 10 pacientes es 137.5 mm de Hg. Este es el valor que representa mejoro que resume los datos correspondientes a la presión arterial de los 10 pacientes. Debe observarse que la presión de ninguno de los 10 corresponde a este valor exacto, de hecho algunos valores están por encima, otros por debajo, pero en “promedio” los datos se encuentran “cerca” a este valor.

Practica 1: el objetivo de esta actividad es analizar las características de la media aritmética

Paso 1: Ingrese los datos del Ejemplo 1 en una hoja de Excel y calcule el promedio mediante la función de Excel:

=PROMEDIO( )

Paso 2: Dentro de los paréntesis ingrese la referencia de las celdas del conjunto de datos, como se indica en el siguiente ejemplo:

Paso 3:Ahora cambie cualquier valor por un número mucho más grande o más pequeño que los demás datos, por ejemplo 300 o 50

Observación: al cambiar un solo dato, por un valor muy pequeño, el promedio disminuye notablemente con respecto al valor inicial 137.5

Observación: al cambiar un solo dato, por un valor muy grande, el promedio aumenta notablemente con respecto al valor inicial 137.5

¿Qué observaciones puede hacer con respecto al cambio que se produce en el promedio?:

Conclusión

Practica 2: el objetivo de esta práctica es observar la distribución de los datos en relación con la media

Por favor descargue esta hoja de Excel

Paso 1: Supongamos que los datos se encuentran distribuidos de forma simétrica a lado y lado de la media, como lo ilustra el siguiente histograma:

Dado que los datos se encuentran agrupados en una tabla de frecuencias absolutas, el valor del promedio deberá ser calculado con la siguiente fórmula:

(1.2)

Donde xi es el valor de la i-ésima observación de la variable y ni el valor de su frecuencia absoluta, m es el número de valores diferentes que toma la variable y n es el número total de datos observados.

En este ejemplo observamos que los datos están distribuidos simétricamente con respecto al valor central 137.5 por lo que es un buen representante de los datos.

Practica 2: el objetivo de esta práctica es observar la distribución de los datos en relación con la media

Paso 2: Ahora alteremos los datos de tal forma que la distribución se vuelva marcadamente asimétrica:

En este caso el promedio cambió significativamente de 137.5 (paso1) a 144.78, aunque se mantienen los mismos valores de la variable y el número de datos de la muestra.

Conclusión

Practica 3: el objetivo de esta práctica es verificar las propiedades de la media.

Propiedad 1

El promedio de una constante es igual a la constante

Ejemplo de la propiedad 1: Si la talla de 20 niños fuera igual a 143 cm para todos, entonces la talla promedio para estos 20 niños sería igual a 143 cm.


Paso 1: Ingresa a la hoja de cálculo aquí y verifica esta propiedad, asignando diferentes valores a la constante:


Practica 3: el objetivo de esta práctica es verificar las propiedades de la media.

Propiedad 2

El promedio de una constante por una variable es igual a la constante por el promedio de la variable

Ejemplo de la propiedad 2: Los siguientes datos corresponden a los pesos de 20 niños de 12 meses de vida, con tallas entre 70 y 77 centímetros:

5.2 4.5 5.6 5.4 5.8 6.1 5.8 5.7 6.3 5.5
5.4 5.8 6.4 5.9 5.6 6.8 6.2 5.5 5.7 5.9

De acuerdo con los datos oficiales un niño de esta edad, entre estas tallas, debe pesar en promedio 9.425 kg, por lo tanto estos niños se encuentran en estado de desnutrición. El peso promedio de los 20 niños es 5.8 kg.

Paso1: En la hoja de cálculo se debe verificar el dato del promedio mencionado:

De acuerdo con las directrices para el tratamiento hospitalario de los niños con malnutrición grave propuesto por la Organización Mundial de la Salud, el tratamiento es satisfactorio si diariamente un niño tiene un aumento de peso mayor a 10 gramos por cada kilogramo que pese el niño, durante la fase de rehabilitación. En consecuencia, después de una semana de tratamiento se espera que el peso de cada niño aumente más de 70 gramos (0.07 kg) por cada kilogramo del peso actual de cada niño, es decir:

Si xi representa el peso actual del i-ésimo niño, y yi el peso después de una semana de tratamiento, entonces tenemos que:

yi = xi + 0.07xi = 1.07xi

Por lo tanto, aplicamos la Propiedad 2 para calcular el peso promedio de los 20 niños al cabo de la primera semana de tratamiento: se multiplica la constante 1.07 por el peso promedio actual, es decir:

Y̅ = 1.07 X̅ = 1.07(5.8) = 6.206

El peso promedio que se espera que tengan los 20 niños después de la primera semana de tratamiento es mínimo de 6.2 kg.

Paso 2:Ingresar a la hoja de cálculo y verificar la propiedad 2, asignando diferentes valores a la constante:

Practica 3: el objetivo de esta práctica es verificar las propiedades de la media.

Propiedad 3

El promedio de la suma de una variable con una constante es igual a la suma del promedio de la variable con la constante

Ejemplo de la propiedad 3: Estudios han concluido que la hipotermia grave (por debajo de los 30°C) es un factor predictivo significativo de infecciones en los pacientes gravemente enfermos, internados en las Unidades de Cuidados Intensivos. Supongamos que los siguientes datos corresponden a las temperaturas (en grados Celsius) de 20 pacientes con hipotermia grave internos en la UCI:

28 29.5 26.3 24 30 29.8 28.4 27.6 25.9 27.9
28.2 29.4 27.6 28.4 29.4 29.3 27.8 28.4 29 28.8

Paso 1:Ingresar a la hoja de cálculo siguiente enlace y verificar el promedio de la temperatura

Si se desea cambiar de la escala Celsius a la escala Fahrenheit, se emplea la siguiente fórmula:

En nuestro ejemplo, si xi representa la temperatura en grados Celsius del i-ésimo paciente y yi la temperatura del mismo paciente en grados Fahrenheit, entonces:

Podemos calcular la temperatura promedio en grados Fahrenheit de los 20 pacientes sin necesidad de cambiar cada dato, aplicando las Propiedades 2 y 3 de la siguiente manera:

Por lo tanto, la temperatura promedio de los 20 pacientes en la escala Fahrenheit es 82.7°F

Paso 2:Ingresar a la hoja de cálculo siguiente enlace y verifica esta propiedad, asignando diferentes valores a la constante:

Practica 3: el objetivo de esta práctica es verificar las propiedades de la media.

Propiedad 4

El promedio de la suma de dos variables es igual a la suma de los promedios de cada variable

Ejemplo de la propiedad 4: Volvamos a los datos del ejemplo que se presentó en la Propiedad 2: Pesos de 20 niños de 12 meses de vida, con tallas entre 70 y 77 centímetros:

5.2 4.5 5.6 5.4 5.8 6.1 5.8 5.7 6.3 5.5
5.4 5.8 6.4 5.9 5.6 6.8 6.2 5.5 5.7 5.9

Habíamos calculado que el peso promedio de los 20 niños en estado de desnutrición es 5.8 kg (Verifique).

Supongamos que después de un mes de tratamiento, se volvió a pesar este mismo grupo de 20 niños, registrando los siguientes valores:

6.6 5.8 7.3 6.9 7.2 7.8 7.4 7.3 8.1 7.4
6.9 7.4 8.2 7.6 7.3 8.7 7.9 7.1 7.2 7.5

Entonces el peso promedio de los 20 niños después de un mes de tratamiento es 7.4 (Verifique)

Si xi representa el peso inicial del i-ésimo niño, y yi el peso del mismo niño después del tratamiento, entonces podemos calcular el peso que incrementó i-ésimo niño mediante la expresión:

zi = yi - xi

En consecuencia, por la propiedad 4, podemos deducir el peso que incrementaron en promedio los 20 niños después de un mes de tratamiento:

Z̅ = Y̅ - X̅ = 7.4 - 5.8 = 1.6

Los 20 niños tuvieron en promedio un incremento en su peso de 1.6 kg. (Utilice el ejemplo de la Propiedad 2 para verificar si este es el peso en promedio que se espera después de un mes de tratamiento)

Paso 1:Ingresar a la hoja de cálculo y verificar la propiedad 4, asignando diferentes valores a la constante

Practica 3: el objetivo de esta práctica es verificar las propiedades de la media.

Propiedad 5

El Promedio Total de una variable dividida en subgrupos es igual al promedio ponderado de los subgrupos

Ejemplo de la propiedad 5:: Suponga que los siguientes datos corresponden al número de pacientes que se atienden por urgencias en un mes en una muestra de 15 hospitales en la ciudad de Bogotá:

616 720 650 475 890 1250 3500 428 750 680
2500 845 1500 620 900

Por lo tanto, el número de pacientes que se atienden en las salas de urgencias en estos 15 hospitales de Bogotá es en promedio 1088 pacientes al mes.(Verifique)

En Cali, se seleccionaron 10 hospitales obteniendo los siguientes resultados:

425 780 569 1340 875 3200 415 890 876 900

Así, el número de pacientes que se atienden en las salas de urgencias en estos 10 hospitales de Cali es en promedio 1027 pacientes al mes. (Verifique)

Si xi representa el número de pacientes que se atienden al mes en el i-ésimo hospital de Bogotá y yj el número de pacientes que se atienden al mes en el j-ésimo hospital de Cali, entonces tenemos que el número de pacientes que se atienden al mes en promedio en los 25 hospitales de las dos ciudades está dado por el promedio ponderado:

Donde n1 = 15 y n2 = 10, es el tamaño de cada grupo. En consecuencia, 1.063.76 corresponde al número de pacientes que se atienden mensualmente en promedio en los 25 hospitales de ambas ciudades.

Paso 1:Ingresar a la hoja de cálculo y verificar la propiedad, asignando diferentes valores a la constante