Ejemplos de las propiedades de la Varianza

Explicaciones y Ejemplos X
Propiedad 1

Propiedad 1

La Varianza de una constante es igual a cero.


Si la talla de 20 niños fuera igual a 143 cm para todos, entonces los datos no varían y por lo tanto su varianza es cero, todos los datos corresponden al promedio 143 cm.


Ejemplo 1: Ingresa a la hoja de cálculo y verifica esta propiedad, asignando diferentes valores a la constante

Propiedad 2

Propiedad 2

La varianza de una constante por una variable es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable

Los siguientes datos corresponden a los pesos (supuestos) de 20 niños, de 12 meses de vida, con tallas entre 70 y 77 centímetros:

5.2 4.5 5.6 5.4 5.8 6.1 5.8 5.7 6.3 5.5
5.4 5.8 6.4 5.9 5.6 6.8 6.2 5.5 5.7 5.9

De acuerdo con los datos oficiales un niño de esta edad, entre estas tallas, debe pesar en promedio 9.425 kg, por lo tanto estos niños se encuentran en estado de desnutrición. El peso promedio de los 20 niños es 5.76 kg y su varianza es 0.2245 kg2.

Ejemplo 2: en la hoja de cálculo ingresa los Datos Iniciales y verifica este cálculo:

En consecuencia la desviación estándar de los pesos de los 20 niños es igual a √0.2245=0.47 kg (aproximadamente), lo que significa que en promedio, los pesos de los 20 niños varían entre 5.29 y 6.23 kg.

De acuerdo con las directrices para el tratamiento hospitalario de los niños con malnutrición grave propuesto por la Organización Mundial de la Salud, el tratamiento es satisfactorio si diariamente un niño tiene un aumento de peso mayor a 10 gramos por cada kilogramo que pese el niño, durante la fase de rehabilitación. En consecuencia, después de una semana de tratamiento se espera que el peso de cada niño aumente más de 70 gramos (0.07 kg) por cada kilogramo del peso actual de cada niño, es decir:

Si xi representa el peso actual del i-ésimo niño, y yi el peso después de una semana de tratamiento, entonces tenemos que:

yi = xi + 0.07 xi = 1.07 xi

Por lo tanto, aplicamos la Propiedad 2 para calcular el varianza de los pesos de los 20 niños al cabo de la primera semana de tratamiento: se multiplica la constante (1.07)2 = 1.1449 por la varianza del peso actual, es decir:

sy2 = (1.07)2 sx2 = 1.1449 (0.2245) = 0.2570

Por lo tanto la desviación estándar es:

sy = √0.2519 = 0.502

Después de la primera semana de tratamiento, se espera que los pesos de los 20 niños varíen en 0.5 kg alrededor del valor promedio 5.8 kg. En otras palabras, se espera que los pesos de los 20 niños varíen en promedio, entre 5.3 y 6.3 kg.

Ejemplo 3: en la hoja de calculo se puede verificar la propiedad 2, asignando diferentes valores a la constante:

Propiedad 3

Propiedad 3

La varianza de la suma de una variable con una constante es igual a la varianza de la variable

Ejemplo 4: Estudios han concluido que la hipotermia grave (por debajo de los 30°C) es un factor predictivo significativo de infecciones en los pacientes gravemente enfermos, internados en las Unidades de Cuidados Intensivos. Supongamos que los siguientes datos corresponden a las temperaturas (supuestas en grados Celsius) de 20 pacientes con hipotermia grave internos en la UCI:

28 29.5 26.3 24 30 29.8 28.4 27.6 25.9 27.9
28.2 29.4 27.6 28.4 29.4 29.3 27.8 28.4 29 28.8

Entonces la temperatura promedio de los 20 pacientes es 28.19 °C y la varianza es 2.0123 °C2.

Paso 1: Ingresa a la hoja de cálculo los Datos Iniciales y verifica los cambios que ocurren:

En consecuencia la desviación estándar de los pesos de los 20 niños es igual a √2.0123=1.22 °C (aproximadamente), lo que significa que en promedio, las temperaturas de los pacientes varían entre 26.97 y 29.41 °C.

Paso 2: Si se desea cambiar de la escala Celsius a la escala Fahrenheit, se emplea la siguiente fórmula:

F = 9/5C + 32

En nuestro ejemplo, si xi representa la temperatura en grados Celsius del i-ésimo paciente y yi la temperatura del mismo paciente en grados Fahrenheit, entonces:

yi = 9/5 xi + 32

Paso 3: se puede calcular la varianza de la temperatura en grados Fahrenheit de los 20 pacientes sin necesidad de cambiar cada dato, aplicando las Propiedades 2 y 3 de la siguiente manera:

Por lo tanto, la desviación estándar de las temperaturas en grados Fahrenheit es:

sy = √6.5198 = 2.55

Luego, las temperaturas de los 20 pacientes en la escala Fahrenheit, varian en promedio entre 80.18 y 85.28 °F.

Paso 4: Ingresa a la hoja de cálculo y verifica la propiedad 3, asignando diferentes valores a la constante

Propiedad 4

Propiedad 4

El promedio de la suma de dos variables es igual a la suma de los promedios de cada variable

Volviendo a los datos del ejemplo que se presentó en la Propiedad 2: Pesos de 20 niños de 12 meses de vida, con tallas entre 70 y 77 centímetros:

5.2 4.5 5.6 5.4 5.8 6.1 5.8 5.7 6.3 5.5
5.4 5.8 6.4 5.9 5.6 6.8 6.2 5.5 5.7 5.9

El peso promedio de los 20 niños en estado de desnutrición es 5.76 kg y la varianza es 0.2245 kg2 (Verifique).

Ejemplo 5: Supongamos que después de un mes de tratamiento, se volvió a pesar este mismo grupo de 20 niños, registrando los siguientes valores:

6.6 5.8 7.3 6.9 7.2 7.8 7.4 7.3 8.1 7.4
6.9 7.4 8.2 7.6 7.3 8.7 7.9 7.1 7.2 7.5

Entonces el peso promedio de los 20 niños después de un mes de tratamiento es 7.4kg y la varianza es 0.3586 kg2 (Verifique).

Si xi representa el peso inicial del i-ésimo niño, y yi el peso del mismo niño después del tratamiento, entonces se puede calcular si el peso incrementó en el i-ésimo niño mediante la expresión:

zi = yi - xi

Se observa que las variables X e Y no son independientes, ya que los datos de la variable Y dependen directamente de los datos de la variables X; por lo tanto existe una medida que indica el grado de relación entre estas dos variables, es decir la covarianza, en este caso este valor corresponde a:

sxy = 0.2791

En consecuencia, por la propiedad 4, se puede deducir la varianza del peso que incrementaron los 20 niños después de un mes de tratamiento:

sz2 = sx2 + sy2 - 2sxy = 0.2245 + 0.3586 - 2(0.2791) = 0.0249

Cuya desviación estándar es:

sz = √0.0249 = 0.1577 ≈ 0.16 ("aproximadamente")

Es decir, los 20 niños tuvieron en promedio un incremento en su peso entre 1.44 y 1.76 kg.

Ejemplo 6: ingresando los valores para cada variable en la hoja de cálculo se puede verificar la propiedad 4:

Paso 2: Ahora se consideran dos grupos diferentes, el primero los 20 niños en estado desnutrición:

5.2 4.5 5.6 5.4 5.8 6.1 5.8 5.7 6.3 5.5
5.4 5.8 6.4 5.9 5.6 6.8 6.2 5.5 5.7 5.9

Paso 3: supongamos que se tiene otro grupo de 20 niños de las mismas tallas pero con pesos normales:

10.3 9.8 10.2 9.9 9.5 9.7 10 10.1 10.5 9.1
10.2 9.8 10.5 10 9.4 9.3 10.1 9.8 9.7 8.8

Cuyo peso promedio es de 9.84 kg y la varianza es 0.1903 kg2 (Verifique).

Si xi representa el peso del i-ésimo niño en el primer grupo, y yi el peso del mismo i-ésimo del otro grupo, entonces se puede calcular la diferencia de pesos entre los dos grupos mediante la expresión:

zi = yi - xi

Se observa que las variables X y Y son independientes, ya que los datos de la variable Y no dependen directamente de los datos de la variables X; por lo tanto la covarianza entre estas dos variables es despreciable, en este caso este valor corresponde a:

sxy = 0.0001

Paso 4: recordando la propiedad 4, se puede deducir la varianza de la diferencia de peso entre los dos grupos, así:

Cuya desviación estándar es:

sz = √0.4146 = 0.6438 ≈ 0.64 ("aproximadamente")

Conclusión: los pesos de los 20 niños del segundo grupo difieren de los pesos de los 20 niños del primer grupo entre 3.44 y 4.72 kg (en promedio).

Paso 5: Ingresando diferentes valores a la constante, en la hoja de cálculo se verifica la propiedad 4 para variables independientes.

Paso 6: Observe que si las variables son independientes su covarianza es cero y la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas.

Propiedad 5

Propiedad 5

La Varianza Total de una variable dividida en dos (o más) grupos es igual a la suma entre la variación que existe al interior de los grupos (Inter) y la variación que existe entre los grupos (Inter).
Varianza Total = Varianzas Intra + Varianza Inter + Varianza Inter

La fórmula que representa a la propiedad 5 es la siguiente:

(2.4)

Demostración de la propiedad 5: Suponga que los siguientes datos corresponden al número de pacientes que se atienden por urgencias en un mes en una muestra de 15 hospitales en la ciudad de Bogotá:

616 720 650 475 890 1250 3500 428 750 680
2500 845 1500 620 900

Por lo tanto, el número de pacientes que se atienden en las salas de urgencias en estos 15 hospitales de Bogotá es en promedio 1088 pacientes al mes con una varianza 666815.(Verifique).

En Cali, se seleccionaron 10 hospitales obteniendo los siguientes resultados:

425 780 569 1340 875 3200 415 890 876 900

Así, el número de pacientes que se atienden en las salas de urgencias en estos 10 hospitales de Cali es en promedio 1027 pacientes al mes con varianza 590842. (Verifique).

Si xi representa el número de pacientes que se atienden al mes en el i-ésimo hospital de Bogotá y yj el número de pacientes que se atienden al mes en el j-ésimo hospital de Cali, entonces tenemos que el número de pacientes que se atienden al mes en promedio en los 25 hospitales de las dos ciudades está dado por el promedio ponderado:

Donde n1 = 15 y n2 = 10, es el tamaño de cada grupo

La Varianza Intra, es decir la variación que existe al interior de cada grupo, está dada por:

La Varianza Inter, es decir la variación que existe entre los grupos, está dada por:

Por la Propiedad 5, la Varianza Total teniendo en cuenta los 25 hospitales, se tiene de la suma:

s2 = 636426 + 901 = 637327

Para interpretar este resultado se deben considerar los siguientes cocientes:

Estos porcentajes nos indican que la Varianza Total del grupo de 25 hospitales, se debe principalmente a la variación que existe dentro de cada grupo y no de las diferencias entre los grupos, de hecho al ser un porcentaje tan pequeño, se puede afirmar que los grupos son muy parecidos entre sí.

En el contexto del ejercicio, podemos afirmar que la variación del número de pacientes que se atienden en los hospitales de Bogotá y Cali no difiere tanto, sin embargo la variación del número de pacientes que se atienden en los hospitales cada ciudad varia bastante entre sí.

Ejemplo de la propiedad 5: Ingresando diferentes valores a la constante en la hoja de cálculo se verifica la propiedad 5.