Unidad 3 : COMPARACIONES DE TRATAMIENTOS
Comparaciones no planeadas
Método de Bonferroni
Se utiliza frecuentemente cuando se quiere realizar un número
pequeño de comparaciones. Suponga que un experimnetador quiere hacer 
comparaciones
. Entonces
se rechaza
si
Donde
el 
percentil de una distribución 
de 
variables multivariada con 
error.
En la tabla A.2 del Apendice del libro de Milliken 
se encuentran los valores de 
de Bonferroni para valores
, 
glerror 
y 
al 10, 15 al 50 (de cinco en cinco),100 y 250.
Tenga en cuenta que en esta tabla 
y 
número de comparaciones.
Si 
, 
y 
entonces 
.
Este valor se puede encontrar tambien en una tabla de distribución 
pero utilizando utilizando como nivel de significación 
paara el cual 
.
Ejemplo 1
En el ejemplo de los medicamentos si se comparan todos los pares de medias posibles al nivel de significación de 5%
,
entonces se tienen 
comparaciones (contrastes simples), y así el valor de 
El valor porcentual de la distribución 
de Bonferroni se busca con el valor de 
y no con 
pero el valor que se encuentra es el 
percentil.
Los intervalos de confianza para el método de Bonferroni que se pueden recomendar, tienen la forma
donde 
es en número de comparaciones.
Este método es particularmente bueno cuando el experimentador quiere
hacer solamente un número pequeño de comparaciones.
Milliken
recomienda este método en comparaciones planeadas cuando
la prueba 
para
la igualdad de medias ha sido significativa.
Ejemplo 2
(ejemplo 10.2.1Pag 295 susan)
Un ingeniero químico está estudiando un polímero recientemente desarrollado para ser utilizado en la eliminación de los residuos tóxicos del agua. Los experimentos se realizan a cinco temperaturas diferentes. La respuesta observada es el porcentaje de impurezas eliminadas por el tratamiento; se han obtenido los siguientes datos:
La tabla de ANOVA aparece a continuación en la cual se observa que la
hipótesis 
se
puede rechazar con 
.
Supongase que se desea realizar las 
comparaciones posibles por parejas
; 
; 
; 
; 
Y se quiere que la probabilidad de cometer almenos un rechazo incorrecto sea
como máximo de 
.
Bajo la suposición de que las varianzas poblacionales son iguales, puede
contrastarse cada una de estas hipótesis utilizando una prueba 
de varianzas conjunta de dos colas, donde la prueba estadística es:
Donde
Donde 
es el estimador conjunto de 
basado en muestras extraídas de las poblacionales 
y 
.
También se pueden disponer de otro estimador de 
,
es decir de 
,
el cual está badado en todos los datos disponibles y de esta manera la
prueba 
puede mejorarse utilizando:
como la ejecución de los 
test
es laboriosa se procede con el test de Bonferroni basado en el
estadístico anterior.
Este procedimiento implica un serio problema que debe ser tratado con cuidado,
es decir, si todos los test se ejecutan a un nivel de significación 
,
la probabilidad general de hacer al menos un rechazo incorrecto, indicado por 
,
es mayor que 
y su valor generalmente es desconocido. Sin embargo se puede demostrar que
siempre que se realice un conjunto de test 
,
cada uno de ellos el nivel de significación 
, 
es como mucho 
.
Por ejemplo, si 
,
entonces como se ha demostrado en el ejemplo que se está siguiendo hay 
pares posibles de medias que pueden compararse. Si cada test se realiza al
nivel 
,
entonces la probabilidad de efectuar al menos un rehazo incorrecto es como
mucho 
.
Es fácil apreciar que a medida que 
aumenta, la posibilidad general de error puede ser inaceptablemente alta.
Para realizar los test 
de Bonferroni, de forma responsable, elegimos algún límite superior
razonablemente pequeño, 
,
para la probabilidad de cometer al menos un rechazo incorrecto. A
continuación podemos realizar cada test 
al nivel 
de significación donde 
indica el número actual de test a realizar, por ejemplo si queremos que 
sea de como mucho 
,
realizaremos cada una de nuestras comparaciones por parejas al nivel 
de significación.
Para el ejemplo que tratamos la hipótesis nula 
puede
rechazarse con 
Supongamos que se desean realizar las 
comparaciones por parejas y que queremos que la probabilidad de cometer al
menos un rechazo incorrecto sea como máximo 
.
Para alcanzar este objetivo, cada test 
debe realizarse al nivel 
.
El estadístico de contraste de dos colas es:
Puesto que todos los tamaños de muestra son iguales entonces:
En forma de contraste se tiene. rechazar 
si
Como el valor de 
no se encuentra en la tabla de Bonferroni al nivel 
, entonces se puede encontrar utilizando la tabla de 
con nivel de significación 
Ahora de la tabla 
se puede obtener el valor crítico 
Para realizar cada test solo se necesita comparar las diferencias absolutas
entre las medias muestrales respectivas con este valor 
Si 
entonces se
rechaza 
y concluímos que las dos medias poblacionales 
y 
son
diferentes.
NOTA: Si los tamaños de muestra hubieran sido diferentes se debía
haber calculado una diferencia
crítica 
por
separado para cada test.
