Análisis de Varianza

La tabla de ANOVA para este caso está dada por:

Tabla 1. ANOVA para un factorial de dos factores en un DCA

Causa de variación	Grados de libertad	Suma de cuadrados	Cuadrados medios	F	Cuadrado Medio esperado
A			CM	CMCM
B			CM	CMCM
AB			CM	CMCM
Error experimental			CM
Total

\textcolor{azul}{\textbf{Hip\'{o}tesis en Modelo de Efectos Fijo (Modelo Tipo 1)}}

Para el factor A:

donde es la media global y es la media poblacional del nivel Como y si es cierta y como entonces se tienen dos estimadores insesgados de que son y , por ello se utiliza como prueba el cual debe tomar valores cercanos a uno estadísticamente.

Para el factor B:

donde es la media poblacional del nivel y es la media global. Como y si es cierta y como entonces se tienen dos estimadores insesgados de que son y , por ello se utiliza como prueba para probar la hipótesis. Esta estadística de prueba debe tomar valores estadísticamente cercanos a uno cuando es cierta.

Para la interacción de los factores

Escrita de una forma más sencilla tendremos:

Como , si es cierta razonando como en los casos anteriores se tiene que la estadística de prueba para esta hipótesis es

¿Cómo se aplican los métodos de comparación multiple?

Si la hipótesis de interacción es significativa (se rechaza la hipótesis nula), se deben realizar comparaciones múltiples entre los niveles de un factor pero en cada nivel del otro factor.

Si Si la hipótesis de interacción es no significativa ( no se rechaza la hipótesis nula), y algún factor es significativo, se debe realizar comparaciones múltiples para los niveles de este factor como si fuese un DCA sin estructura fatorial.

¿Cómo probar los supuestos?

Primero se deben obtener los residuales, los cuales para el caso de dos factores se determina de la siguiente manera:

1. El residual es dado por

2. La respuesta estimada es

Y así el residual es determinado por

La prueba de los supuestos se hace de manera similar a un DCA sin estructura factorial

Ejemplo 

(Tomado de Montgomery)

Un ingeniero diseña una bateria para su uso en un dispositivo que será sometido a ciertas variaciones extremas de temperatura. El único parámetro de diseño que él puede seleccionar en este punto es el material de al cubierta de la batería, y tiene tres alternativas. Cuando el dispositivo se manufactura y se envía al campo, el ingeniero no tiene control sobbre los extremos de las temperaturas a que será expuesto el dispositivo, y sabe por experiencia que es probabble que la temperatura influye sobre la duración de la batería.- Sin embargo, sí es posible controlar la temperatura en el laboratorio de desarrollo de productos para los fines del ensayo.

El ingeniero decide probar los tres materiales de la cubierta a tres niveles de temperaturas (15, 70 y 125 ) consistentes en el entorno de su uso final del producto. Se prueban cuatro baterias a cada combinación del material de cubierta y temperatura, y las 36 pruebas se ejecuta al azar. La siguiente tabla muestra los datos resultantes de la duración observada de las baterias.

	Temperatura
Tipo de material	15		70		125
1	130 74	155 180	34 80	40 75	20 82	70 58
2	150 159	188 126	126 106	122 115	25 58	70 45
3	138 168	110 160	174 150	120 139	96 82	104 60

Como auxiliar de la interpretación de los resultados de este experimento resulta útil la construcción de una gráfica de de las respuestas promedios de cada combinación de tratamiento.

Figura 1. Gráfica de lineas para los tipos de materiales en los niveles de temperatura

De la gráfica dse puede observar que la diferencia entre los promedios de los materiales 1 y 2 no es la misma en los tres niveles, análgogamente para los casos de los materiales 1 y 3, y 2 y 3. De lo que se puede sospechar que los materiales no se comportan de la misma manera en cada nivel de temperatura, por lo cual se puede establecer que existe interacción entre los tipos de materiales y los niveles de temperatura.

La tabla de Anova es dada por

Tabla 1. ANOVA para los datos del ejemplo 1

Causa de variación	Grados de libertad	Suma de cuadrados	Cuadrados medios	F	ValorP	Ftabla
Tipo de material	2	10633.167	5316,583333	7.98	0.00188848	3.35
Temperatura	2	39083.167	19541,58333	29.34	1.6944E-07	3.35
Interacción	4	9437.66	2359,416667	3.54	0.01897306	2.7277
Error experimental	27	17980	665,9537037
Total	37	77134.75

De la tabla de Anova se puede observar que al nivel de significación de 0.05 todas las causa de variación resultan significativas, pero no se debe tener encuenta para el análisis los factores individuales sino la interacción, ya que esta interacción nos dice que la repuesta se potencia cuando se combinan los niveles de los factores y no cuando se aplican por separado. Por tanto lo que sigue en el análisis es aplicar los procedimiento de comparación múltiple para los niveles de tipo de material en cada nivel de temperatura.

Ejercicio 

a) Aplique el método de Duncan al ejemplo 1.

b) Existe normalidad de los errores?

c) Existe independencia de los errores?

d) El modelo se ajusta bien a los datos o es aditivo?