Elementos y operaciones

Resumen: Una molécula es más simétrica entre mayor número de operaciones de simetría tenga. Las operaciones “movimientos” se hacen con referencia a los elementos de simetría.

Hay dos sistemas de notación para las propiedades de simetría:

• La notación de Schönflies, que es la más usada para moléculas individuales, es decir, para la simetría puntual.
• La notación internacional o de Hermann Mauguin, que es usada casi exclusivamente para tratar la simetría cristalina.

Algunas de las equivalencias en estos dos sistemas son:

σv = m	C2 = 2	C4 = 4
σh + C4 = 4/m	σh + C2 = 2/m	i = -

Las propiedades de simetría de un objeto o molécula es describen adecuadamente con base en las operaciones de simetría que pueden realizarse con respecto a unos elementos de simetría. Un elemento de simetría se define como una entidad geométrica tal como una línea, un plano o un punto, con respecto al cual se llevan a cabo las operaciones de simetría. Una operación de simetría es un movimiento que, realizado sobre un objeto, da lugar a una nueva orientación de éste, indistinguible de la original y superponible con ella. Es decir, si un espectador cierra los ojos y los abre después de realizada la operación, le parecería que no se ha hecho nada. Las operaciones de simetría no siempre pueden realizarse físicamente.

En un sentido geométrico, dos operaciones pertenecen a la misma clase cuando los elementos que las generan pueden convertirse el uno en el otro por alguna operación de simetría del objeto. Las operaciones de simetría son de dos clases, una en que el centro de gravedad de la molécula permanece inalterado, y otra en que todo el objeto se traslada de un lugar a otro. La primera clase da lugar a la simetría puntual, que es la que se tratará en este capítulo, y la segunda da lugar a la simetría translacional, de mayor aplicación en el estudio del estado sólido. En simetría puntual, los elementos de simetría y las operaciones asociadas con ellos se muestran en la siguiente tabla:

Elemento	Operación	Símbolo
Eje propio	Rotación propia	Cn
Plano	Reflexión	σ
Centro de simetría	Inversión	i
Eje impropio	Rotación impropia	sn

Rotación propia

Una rotación de simetría alrededor de un eje es un giro que realizado en un ángulo 360°/n conduce al objeto a una posición indistinguible de la inicial, o lo que es lo mismo, a una posición equivalente. La rotación, como operación de simetría, por ejecuciones consecutivas en el mismo sentido debe llevar de nuevo a la posición original. Este número de veces que se repite la operación para llegar a la posición original se conoce como el orden del eje, n. Para una misma molécula, las rotaciones propias deben considerarse en los dos sentidos. Desde que se sea consistente, no es muy importante en cuál sentido se considera la operación. Sin embargo, existe un criterio unificado: las rotaciones propias normales se consideran en sentido inverso a la rotación de las manecillas del reloj y las inversas, en el sentido de la rotación de las manecillas del reloj. Ambos tipos son operaciones de simetría.

Uno de los elementos determinantes de la simetría de una molécula es el eje de mayor orden. Los siguientes criterios pueden ser de ayuda para determinarlo:

• El eje de mayor orden es el de mayor simetría.
• Cuando en la molécula existan varios ejes de orden mayor, si la molécula es planar, se considera como de mayor orden el que es perpendicular a ella.
• Si la molécula no es plana, el eje de mayor orden es el que pasa por el mayor número de átomos.

Existe una operación muy especial llamada la operación identidad, E, también conocida como C₁, que consiste en rotar el objeto 360°. Esta rotación puede llevarse a cabo sobre cualquier eje, o lo que es lo mismo, un objeto tiene infinito número de operaciones C₁. Esta operación es lo mismo que no hacer nada sobre la molécula, y es la única que se presenta en cualquier objeto, por asimétrico que sea.

Reflexión

Si una molécula es bisectada por un plano y a cada uno de los átomos de una de las mitades de la molécula, reflejado en el plano, le corresponde como imagen otro átomo de la misma clase, se dice que la molécula posee un plano especular o plano de simetría. Otra forma de expresar la operación es dejar caer una perpendicular desde cada átomo hasta el plano, extender esta línea a una distancia igual en el lado opuesto del plano y mover el átomo hasta este punto. Si cuando se realiza esta operación sobre cada átomo de la molécula se obtiene una configuración equivalente, el plano usado es un plano de simetría. El plano de simetría debe dividir siempre a la molécula en dos partes iguales.

Una molécula puede tener varios planos de simetría, y sus nombres dependen de la orientación de éstos con respecto al eje de mayor orden. Si el plano es perpendicular al eje de orden mayor se denomina plano horizontal, σ_h, y si contiene al eje de orden mayor, se denomina plano vertical, σ_v. Según la definición, en una molécula no puede existir más de un plano horizontal. Los planos verticales que bisectan el ángulo entre ejes de orden 2 se llaman planos diagonales o diédricos, _d. Cuando en una molécula los planos bisectan ejes de orden 2 de diferente jerarquía, se consideran como verticales los que contienen a los ejes que pasan por el mayor número de átomos.

Inversión

La inversión se realiza a través de un punto llamado centro de simetría o centro de inversión, el cual siempre coincide con el centro de gravedad de la molécula. En esta operación se supone que se toma cada punto de la molécula y se traza una recta desde él a través del centro de inversión hasta una distancia igual al otro lado del centro de simetría. Si allí se encuentra otro punto equivalente de la molécula, existe este elemento de simetría. La implicación lógica de un centro de inversión es que todos los átomos deben existir por pares, siendo equidistantes del centro de la molécula, pero situados en direcciones opuestas; a excepción del centro de inversión que se puede encontrar en el centro.

Rotación impropia o rotación-reflexión.

Esta es en realidad el resultado de realizar dos operaciones, una a continuación de la otra, y consiste en llevar a cabo una rotación y enseguida, sobre la posición resultante, una reflexión a través de un plano perpendicular al eje sobre el que se realizó la rotación. De estas dos operaciones, ninguna debe ser necesariamente una operación de simetría por sí sola. Las rotaciones impropias, de manera similar a las rotaciones propias, deben poder realizarse hasta llegar a una posición del objeto idéntica a la inicial. Un eje impropio s_n de orden par genera una serie de operaciones s_n, s_n², s_n³..., s_nⁿ, en tal forma que s_nⁿ = C_nⁿ = E. Por otra parte cuando el orden de sn es impar, la operación s_nⁿ = s₁.

Algunas rotaciones impropias pueden escribirse en otra forma, ya que generan configuraciones idénticas a las generadas por otra operación de simetría.

Por ejemplo, s₂ = i; en estos casos, las operaciones deben indicarse en la forma más sencilla posible.

Al determinar todas las operaciones de simetría para una molécula, es conveniente tener en cuenta algunos criterios generales como son:

• El número total de operaciones de simetría generalmente es par.
• Para moléculas que, además de las rotaciones propias, presenten alguna otra operación de simetría, el número total de operaciones es igual al doble del número de rotaciones propias.
• Si una molécula presenta al menos un eje de orden 2 perpendicular al eje de mayor orden C_n, deben encontrarse en total n ejes C₂ perpendiculares a C_n. Si la molécula presenta al menos un σ_v, deben encontrarse en total nσ_v.

Para conocer más acerca de las interacciones con los modelos dinámicos de moléculas y obtener más información acerca de JSmol, puede dirigirse a la página de Ayuda

Aviso importante: Es posible que en algunos dispositivos y pantallas de baja resolución algunas de las moléculas dinámicas se visualicen de forma superpuesta, o que sus marcos se traslapen. Para solucionar ese inconveniente se debe usar la función de alejamiento que está disponible en cualquier navegador. Esta función se activa en Windows y Linux con las teclas CTRL y -, y en iOS con las teclas ⌘ y -.