SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 7.

Forma CanÓnica de Jordan

Proposición 13. Sea $N:W\rightarrow W$ una transformación lineal nilpotente de un espacio de dimensión finita $d\geq 1$ . Entonces existe una base en tal que

MATH

donde

MATH

es un bloque elemental de Jordan de orden $s_{i}$ perteneciente al valor y se cumplen las siguientes propiedades: , y $s_{1}=$ índice de nilpotencia de .

Demostración. Nótese si $\ s_{1}$ es el índice de nilpotencia de la transformación , entonces el polinomio mínimo de es $x^{s_{1}}$ . Podemos aplicar entonces el Teorema de Descomposición Cíclica y encontrar vectores no nulos con polinomios anuladores de tal forma que y tiene la descomposición

La matriz compañera de es un bloque elemental de Jordan $M_{i}$ de orden $s_{i}$ perteneciente al valor , además si $X_{i}$ es una base de $[w_{i}]$ , entonces la matriz de en la base es

MATH

De acuerdo al Teorema de descomposición cíclica, , y $s_{1}=$ índice de nilpotencia de Esto completa la prueba de la proposición.

El Teorema de descomposición cíclica garantiza que el valor es único para ; veamos que

$t=\dim(N(N)).$

La idea es probar que es una base del núcleo de . Si $w\in N(N)$ , entonces donde $u_{i}$ es un elemento de $[w_{i}]$ , ${},\,1\leq i\leq t$ . Entonces,

donde el grado de $g_{i}(x)$ se puede tomar inferior a $s_{i}$ . Entonces, , y por la invariancia de $[w_{i}]$ y la suma directa, se concluye que Esto implica que $x^{s_{i}}$ divide a $g_{i}(x)x$ , pero por la escogencia del grado de $g_{i}(x)$ se tiene que . Por lo tanto, $g_{i}(x)=$ $b_{i}x^{s_{i}-1}$ , y en consecuencia,

La independencia lineal es consecuencia de la invariancia de $[w_{i}],$ de la suma directa y de que $x^{s_{i}}$ es el polinomio anulador de $w_{i}.$ $\Box$