En las lecciones de este capítulo se presenta la noción de espacio vectorial sobre cuerpos arbitrarios. Se comienza con las definiciones de las estructuras algebraicas básicas que inducen la definicón de cuerpo y espacio vectorial. El capítulo después está dedicado a trabajar los conceptos de base y dimensión que resultan fundamentales en todo el desarrollo del curso.
El segundo capítulo tiene un doble propósito. Por un lado introduce las funciones que conectan los espacios vectoriales: las transformaciones lineales, y por otro, presenta la suma directa interna de subespacios. La representación de un espacio vectorial en suma directa de subespacios es clave para el tratamiento de las formas canónicas del capítulo 6 y los aspectos geométricos de los espacios euclidianos del capítulo 8.
Las matrices pueden ser consideradas como un lenguaje algorítmico apropiado para estudiar transformaciones lineales entre espacios de dimensión finita. El capítulo 3 está dedicado a introducir este lenguaje. El problema de equivalencia y similaridad de matrices es también planteado.
El determinante puede ser considerado como una función que cumple cuatro propiedades básicas. En este capítulo se ve que cualquier función del álgebra de matrices cuadradas en el cuerpo de trabajo que cumpla estas propiedades básicas es la función determinante.
El estudio de las transformaciones lineales por medio de matrices usa como una de sus técnicas el polinomio característico. El conocimiento de sus raíces es fundamental para entender el comportamiento de la transformación lineal. Estas raíces son los llamados valores propios.
Las matrices constituyen un lenguaje computacional para estudiar transformaciones lineales. Si el aspecto de una matriz que representa una cierta transformación lineal es sencillo, entonces es fácil conocer propiedades de la matriz , y por lo tanto, de la transformación. Las formas sencillas clásicas a las cuales puede ser reducida una matriz, bajo ciertas condiciones, son estudiadas en el presente capítulo. El problema de similaridad de matrices es resuelto en términos de las formas canónicas introducidas.
La colección de transformaciones lineales de un K-espacio vectorial V en K constituye un nuevo espacio vectorial con propiedades similares a las de V, y es muy útil para el estudio geométrico de los espacios con producto interno que serán abordados en lo que resta del curso.
El producto interno en espacios reales y complejos permite manejar conceptos geométricos tales como distancia, ángulo, perpendicularidad , etc. Las transformaciones lineales actuando sobre tales espacios ocupan un lugar importante en el estudio de la geometría ortogonal y simpléctica.
El producto interno en espacios euclidianos y unitarios constituye un caso particular de un concepto más general como es el de forma bilineal sobre un cuerpo arbitrario. El enfoque generalizado de los espacios euclidianos que se plantea en el presente capítulo permite hacer estudios geométricos sobre cuerpos arbitrarios.
Las ideas y resultados expuestos en los dos capítulos anteriores son ahora considerados para el estudio de las llamadas formás cuadráticas que tienen amplias aplicaciones en diferentes áreas de matemáticas y estadística.