SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 6.

Transformaciones Hermitianas y SimÉtricas

Consideraremos en esta lección transformaciones lineales que coinciden con su adjunta, las cuales se conocen con el nombre de autoadjuntas. En espacios unitarios estas transformaciones se denominan también hermitianas, y en espacios euclidianos se conocen como transformaciones simétricas.

Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio unitario , se dice que es hermitiana si

para cualesquiera vectores $u,v\in V$ . En otras palabras, es hermitiana si $T^{\ast }$ . La transformación se dice antihermitiana si

para cualesquiera vectores $u,v\in V$ . En otras palabras, es antihermitiana si $T^{\ast }$

Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio euclidiano , se dice que es simétrica si

para cualesquiera vectores $u,v\in V$ . En otras palabras, es simétrica si $T^{\ast }$ La transformación se dice Ejercicio 3. \textcolor{red}{antisimétrica} si

para cualesquiera vectores $u,v\in V$ . En otras palabras, es antisimétrica si $T^{\ast }$

Si es de dimensión finita $n\geq 1$ con base , entonces las condiciones anteriores se pueden expresar de la siguiente manera:

es hermitiana (simétrica)

es antihermitiana (antisimétrica)

para $1\leq i,j\leq n$ .

La siguiente proposición muestra como se comportan los valores propios de las transformaciones introducidas.

Proposición 9.. Sea un espacio con producto interno (unitario o euclidiano) y $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal con valor propio $\alpha$ . Entonces

a) Si es hermitiana, entonces

b) Si es simétrica, entonces

c) Si es antihermitiana, entonces $\alpha$ es imaginario puro

d) Si es antisimétrica, entonces $\alpha=0$

Demostración

Sabemos que vectores propios correspondientes a valores propios diferentes son LI. Para transformaciones hermitianas, antihermitianas y simétricas los vectores propios son además ortogonales.

Proposición 10. Sea una transformación lineal hermitiana, antihermitiana o simétrica. Sean $\alpha ,\beta$ valores propios de diferentes con vectores propios respectivamente. Entonces, .

Demostración

A continuación veremos como son las matrices de las transformaciones definidas en la presente lección relativas a bases ortonormales arbitrarias.

Proposición 11. Sea un espacio con producto interno (unitario o euclidiano) , $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal y una base ortonormal de . Sea $A=[a_{ij}]$ la matriz de en la base . Entonces,

a) es hermitiana si y sólo si

b) es antihermitiana si y sólo si

c) es simétrica si y sólo si $a_{ij}=a_{ji}$

d) es antisimétrica si y sólo si $a_{ij}=-a_{ji}$

para cada $1\leq i,j\leq n$ .

Demostración

La proposición anterior define los siguientes tipos de matrices: Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz con entradas complejas, se dice que es hermitiana si $A^{\ast }$ , cuando $A^{\ast }=-A$ se dice entonces que es antihermitiana. Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz con entradas reales, se dice que es simétrica si $A^{T}$ , cuando $A^{T}=-A$ se dice entonces que es antisimétrica. Una consecuencia directa de estas definiciones y de la proposición inmediatamente anterior es el siguiente corolario.

Corolario 3. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación de un espacio con producto interno de dimensión finita. Entonces, es hermitiana (antihermitiana) si y sólo si la matriz de en cualquier base ortonormal es hermitiana (antihermitiana). También, es simétrica (antisimétrica) si y sólo si la matriz de en cualquier base ortonormal es simétrica (antisimétrica).