SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 5.

Transformaciones y Matrices Adjuntas

Para el estudio de los espacios con producto interno, ya sean euclidianos o complejos, es importante considerar la adjunta de una transformación lineal. Veremos en esta lección que en bases ortonormales la adjunta de una transformación lineal corresponde a la matriz adjunta. Denotaremos por un espacio euclidiano o unitario de tal manera que será el cuerpo de números reales o complejos. Nos referiremos entonces a como un espacio con producto interno.

Proposición 7. Sea un espacio con producto interno y sea un vector fijo de . Entonces la función

es un funcional de , es decir, $f_{v}\in V^{\ast }$ . Si es de dimensión finita, entonces es válido el recíproco, es decir, dado $f\in V^{\ast }$ existe un $\text{\U{fa}nico}$ vector $v\in V$ tal que $f=f_{v}$ , luego para cada $u\in V$ .

Demostración

Proposición 8. Sea un espacio con producto interno de dimensión finita $n\geq 1$ . Entonces, para cada transformación lineal $T:V\rightarrow V$ existe una única transformación tal que para cualesquiera vectores $u,v\in V$ .

Demostración

La proposición anterior induce la siguiente definición. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio con producto interno de dimensión finita $n\geq 1$ , la única definida anteriormente se denomina la adjunta de . De otra parte, sea una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ sobre el cuerpo , la matriz se denomina la adjunta de la matriz (la barra indica conjugación compleja; en el caso real la adjunta de coincide con su transpuestat).

Corolario 2. Sea un espacio con producto interno de dimensión finita $n\geq 1$ . Entonces para cada base ortonormal de se tiene que .

Demostración

La demostración del corolario anterior muestra que si $T:V\rightarrow V$ es una transformación lineal de un espacio con producto interno de dimensión finita $n\geq1$ y es una base ortonormal de , entonces para la matriz se cumple que Otras consecuencias directas de este corolario son las siguientes propiedades para la adjunta. Sean $T,U:V\rightarrow V$ transformaciones lineales de un espacio con producto interno de dimensión finita $n\geq1$ y sea $a\in K$ , entonces

4) .

Ejercicio 5. Sea la transformación lineal definida por y considérese en $\QTR{bf}{C}^{2}$ el producto interno canónico. Calcular $T^{\ast }$ . Además, Sea $X=\{(1,1),(-2,2)\}$ una base ortogonal no ortonormal de $\QTR{bf}{C}^{2}$ . Demostrar que .

Solución

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