SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 5.

Transformaciones y Matrices Adjuntas

Proposición 8. Sea un espacio con producto interno de dimensión finita $n\geq 1$ . Entonces, para cada transformación lineal $T:V\rightarrow V$ existe una única transformación tal que para cualesquiera vectores $u,v\in V$ .

Demostración. Cada vector $v\in V$ define un funcional $h_{v}\in V^{\ast }$ dado por $h_{v}(u)=(T(u),v)$ para cada $u\in V$ ; según la Proposición 7 existe un único vector $w\in V$ tal que $h_{v}(u)=(u,w)$ para cada $u\in V$ . Se define entonces la aplicación

Así pues, para cada $u\in V$ . Veamos que $T^{\ast}$ es una transformación lineal: sean $u,v_{1},v_{2}\in V$ , entonces

Según la propiedad 3) de la Lección 1 ; de manera similar se demuestra que para cada $a\in K$ y cada $v\in V$ . Sea otra transformación lineal de tal que para cada $u,v\in V$ , entonces para cada $u,v\in V$ , luego $T^{\ast }(v)=S(v)$ , para cada $v\in V$ , es decir, $S=T^{\ast }.$ $\Box$