SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 1.

Espacios Euclidianos

En el espacio $\QTR{bf}{R}^{2}$ se define un producto interno entre sus vectores a través del cual se establece la longitud de cada vector, el ángulo entre dos vectores, la distancia entre vectores, etc. En efecto, en geometría vectorial se define el producto interno entre dos vectores en la forma la longitud del vector de define por la distancia entre los vectores viene dada por y el $\text{\U{e1}ngulo}$ entre dos vectores no nulos se define por En el presente capítulo estudiamos estos conceptos y las propiedades derivadas de ellos en espacios vectoriales reales y complejos de dimensión finita. La primera lección está dedicada a repasar el caso real el cual seguramente ya conocen la mayoría de nuestros visitantes.

Sea un espacio vectorial real, un producto interno en es una función

que asigna a cada par de vectores $u,v\in V$ un real denotado por y que satisface las siguientes propiedades:

d) Si $u\neq0$ , entonces

para cualesquiera vectores $u,v,w\in V$ y cualquier escalar $a\in \QTR{bf}{R.}$ Un espacio vectorial real se dice que es euclidiano si en está definido un producto interno. Veamos algunos ejemplos de espacios euclidianos.

Ejemplo 1. El producto interno de $\QTR{bf}{R}^{2}$ se generaliza a $\QTR{bf}{R}^{n}$ de la siguiente manera: si entonces Este se conoce como el producto internocanónico . Existen otros productos internos sobre $\QTR{bf}{R}^{n}$ , por ejemplo, en $\QTR{bf}{R}^{2}$ se puede probar facilmente que la relación define un producto interno.

Ejemplo 2. Sea el espacio de funciones continuas en el intervalo y sean , entonces MATH define un producto interno.

Ejemplo 3. En el espacio $M_{n}(\QTR{bf}{R)}$ de matrices cuadradas reales de orden $n\geq 1$ está definido un producto interno canónico dado por MATH donde

Ejemplo 4. Sea un espacio vectorial real y un espacio euclidiano, sea $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal inyectiva. Entonces, es un espacio euclidiano con el producto con $u,v\in V$ .

Algunas propiedades de un producto interno en un espacio euclidiano son las siguientes:

1) para cada $v\in V.$

2) si y sólo si

3) si y sólo si para cada $v\in V.$

4) Desigualdad de Cauchy-Schwartz: para cualesquiera vectores $u,v\in V.$ Además, la igualdad se da si y sólo si son LD.

Demostración

Se dice que el espacio vectorial real es normado si existe una función norma

que satisface las siguientes condiciones:

a) Si $u\neq0$ entonces

c) Desigualdad triangular:

donde son vectores de y $a\in\QTR{bf}{R.}$

En un espacio normado se define la distancia entre dos vectores por

Proposición 1. Todo espacio euclidiano es normado con norma canónica dada por

Ejemplo 5. En el espacio euclidiano $\QTR{bf}{R}^{n}$ la norma viene dada por donde La desigualdad de Cauchy-Schwartz en este caso toma la forma

y la desigualdad triangular se escribe como

Ejemplo 6. En el espacio la norma viene dada por MATH , la desigualdad de Cauchy-Schwartz toma la forma

MATH

y la desigualdad triangular es

MATH

Los conceptos de vectores ortogonales y base ortonormal del espacio $\QTR{bf}{R}^{2}$ pueden extenderse a espacios euclidianos arbitrarios. Sea un espacio euclidiano con producto interno , dos vectores se dicen ortogonales si Un subconjunto no de se dice que es un conjunto ortogonal de vectores si para cada par de vectores $u\neq v$ en El conjunto se dice que es ortonormal si es ortogonal y $\text{adem\U{e1}s}$ para cada $u\in S.$ Por último, sean vectores no nulos de , se define el ángulo entre y como el único número real $\theta \in$ $[0,\pi ]$ que satisface la ecuación

Nótese que dos vectores no nulos en son ortogonales si y sólo si el ángulo entre ellos es $\pi/2.$ Además, en se cumple el teorema de Pitágoras, es decir, si $u_{1},\ldots,u_{n}$ son vectores ortogonales, entonces

Proposición 2. Sea un espacio euclidiano y un conjunto ortogonal de vectores no nulos. Entonces, es L I. En particular, si es de dimensión finita $n\geq 1$ entonces cada conjunto de vectores ortogonales no nulos conforman una base de

A cada producto interno en un espacio euclidiano podemos asignar una matriz invertible con ciertas condiciones de simetría y positividad, como veremos a continuación.

Proposición 3. Sea un espacio euclidiano de dimensión finita $n\geq 1$ y sea una base de . Entonces la matriz $A=[a_{ij}]$ definida por se conoce como la matriz del producto interno $(\,,\,)$ y tiene las siguientes propiedades:

a) Si , entonces MATH

b) $A^{T}=A.$

c) Para cada matriz columna no nula MATH se cumple que

$Y^{T}AY>0.$

d) es invertible.

e) Si la base es ortogonal, entonces las coordenadas $b_{1},\ldots,b_{n}$ del vector en la base vienen dadas por

f) Si es ortonormal, entonces MATH

Con una matriz real que cumpla b) y c) de la proposición anterior podemos definir un producto interno en un espacio real de finita.

Proposición 4. Sea un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ y sea una base de Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz real de $\text{tama\U{f1}o}$ $n\times n$ que satisface las condiciones b) y c) de la proposición anterior. Entonces es un espacio euclidiano con producto interno dado por

$(u,v)=Y^{T}AZ,$

donde MATH son las coordenadas de los vectores y en la base respectivamente.

Ejercicio 1. Sea con producto interno definido como en el Ejemplo 2, calcular el ángulo entre las funciones y

Ejercicio 2. Sea $\QTR{bf}{R}_{n}[x]$ el espacio de polinomios reales de grado $\leq n$ . Se define en este espacio el producto interno entre dos polinomios por Determinar un polinomio de grado $\leq 2$ que este a igual distancia de los polinomios , , y en el espacio

Solución

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