SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 1.

Espacios Euclidianos

Propiedad 4) Desigualdad de Cauchy-Schwartz: para cualesquiera vectores $u,v\in V.$ Además, la igualdad se da si y sólo si son LD.

Demostración. La prueba se puede realizar para el caso unitario que veremos en la Lección 4 del presente capítulo y observar que el conjugado de un número real coincide con y que además , donde denota el módulo del complejo .

Sea un espacio unitario, $u,v\in V$ y sean . Nótese que si entonces la desigualdad (igualdad !) se cumple trivialmente. En este caso se tiene que son LD.

Sea $v\neq 0$ , entonces, . Tomemos y , entonces , y entonces . Puesto que , entonces , por tanto .

Nótese que si la igualdad se da entonces al devolvernos se tiene que, es decir, , o sea que y son LD. Supóngase recíprocamente que son LD. Si ó , entonces la igualdad se cumple trivialmente. Sea $u,v\neq 0$ , sea , donde $k\in \QTR{Bbb}{C}$ , entonces .▫