SEDE BOGOTA

espacios vectoriales

Lección 3.

Subespacios.

Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo y un subconjunto no vacío de , resulta interesante preguntarse si bajo la misma adición de vectores y la misma acción de escalares sobre vectores, conforma un espacio vectorial sobre . En caso afirmativo, se dice que es un subespacio del espacio . Esta relación se denota por $S\leq V$ . Según esta definición, si se desea establecer que $S\leq V$ se debería verificar el cumplimiento de los cuatro axiomas para la adición de vectores y los cuatro axiomas para la acción de escalares sobre vectores. Sin embargo, sólo es necesario verificar el cumplimiento de dos condiciones, como lo muestra la siguiente proposición.

Proposición 2. Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo y sea un subconjunto no $\text{vac\U{ed}o}$ de . Entones, $S\leq V$ si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

(1) Si $u,v\in S$ , entonces $u+v\in S.$

(2) Si $v\in S$ y $a\in K$ , entones $a.v\in S$ .

Ejemplo 14. En el plano cartesiano $R^{2}$ el subconjunto , donde $m\in \QTR{bf}{R}$ es una constante, representa una recta que pasa por el origen y conforma un subespacio de $\QTR{bf}{R}^{2}$ .

Un estudio geométrico de rectas y planos en el espacio $\QTR{bf}{R}^{n}$ puede consultarse en un curso de Cálculo en Varias Variables.

Ejemplo 15. En el espacio $\QTR{bf}{R[x]}$ de polinomios reales, el subconjunto de polinomios de grado $\leq n$ conforma un subespacio.

Ejemplo 16. En el espacio $R^{R}$ de funciones de $\QTR{bf}{R}$ en $\QTR{bf}{R}$ , la colección de funciones continuas de $\QTR{bf}{R}$ en $\QTR{bf}{R}$ conforma un subespacio. En se tienen dos subespacios notables: $C^{n}(a,b)$ conformado por todas las funciones de en $\QTR{bf}{R}$ cuyas primeras derivadas son continuas, y $C^{\infty }(a,b)$ constituido por las funciones de en $\QTR{bf}{R}$ para las cuales las derivadas de cualquier orden son continuas. Similarmente, se tienen los subespacios $C^{n}(\QTR{bf}{R})$ y de $C(\QTR{bf}{R})$ . También, en el espacio $R^{N}$ de sucesiones reales la colección de sucesiones convergentes es un subespacio. Una sucesión $\{a_{n}\}$ se dice que es polinómica si existe un entero positivo tal que $a_{n}=0$ para cada $n\geq m$ . Es claro que el conjunto de sucesiones polinómicas es un subespacio del espacio de sucesiones convergentes.

Ejemplo 17. En cada espacio se tienen dos subespacios triviales : $0=\{0\}$ y .

Ejemplo 18. La intersección de dos subespacios es un subespacio. En realidad, la intersección de cualquier familia no vacía de subespacios de un espacio vectorial es un subespacio.

Sea un espacio vectorial y un subconjunto no vacío de $V\,$ ; nótese que el subespacio más de que contiene a es la intersección de todos los subespacios de que contienen a . Este subespacio se denota por y se conoce como el subespacio generado por .

A continuación se verá que puede describirse en términos de combinaciones lineales de elementos de . Sean elementos del espacio , una combinación lineal de estos elementos es un vector $v\in V$ de la forma , donde son escalares del cuerpo . Se puede entonces afirmar lo siguiente.

Proposición 3. Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo y sea un subconjunto no $\text{vac\U{ed}o}$ de . Entonces, coincide con el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales realizadas con elementos de .
Más exactamente,

Esta presentación permite identificar a como la envolvente lineal de . Si es finito, entonces