SEDE BOGOTA

espacios vectoriales

Lección 2.

Espacios Vectoriales y Ejemplos.

Un tipo de estructura más compleja que las definidas en la lección anterior la constituyen los llamados espacios vectoriales. Los espacios vectoriales son los objetos que estudia el Álgebra Lineal.

Un espacio vectoriales una tripla conformada por:

(1) Un grupo abeliano , los elementos del cual denominamos vectores.

(2) Un cuerpo , los elementos del cual denominamos escalares.

(3) Una operación externa

entre escalares y vectores que cumple las siguientes condiciones:

$\QTR{large}{1.v=v}$

para cualesquiera escalares y cualesquiera vectores $v,u\in V$ .

Es costumbre denotar el espacio vectorial simplemente por $\QTR{large}{V}$ ; también se dice que $\QTR{large}{V}$ es un $\QTR{large}{K}$ -espacio vectorial.

Ejemplo 9. El plano cartesiano $\QTR{large}{R}^{2}$ de puntos de la forma $\QTR{large}{(x,y)}$ con , es un espacio vectorial real respecto de las siguientes operaciones:

Ejemplo 10.Sea $\QTR{large}{n}$ un número natural . El espacio $\QTR{large}{R}^{n}$ de n-plas ordenadas de números reales en la forma es un espacio vectorial real respecto de las siguientes operaciones:

Este ejemplo se generaliza al caso de un cuerpo cualquiera $\QTR{large}{K}$ , obteniéndose el $\QTR{large}{K}$ -espacio canónico .

Ejemplo 11. El conjunto de polinomios reales en la indeterminada $\QTR{large}{x}$ con las operaciones habituales de adición y multiplicación de real por polinomio, es un espacio vectorial real.

Si cambiamos $\QTR{large}{R}$ por un cuerpo cualquiera $\QTR{large}{K}$ obtenemos el $\QTR{large}{K}$ -espacio vectorial de polinomios con coeficientes en $\QTR{large}{K}$ .

Ejemplo 12. El conjunto de matrices reales con las operaciones usuales de adición y multiplicación de matriz por escalar, conforma un espacio vectorial sobre los reales.

Ejemplo 13. Sea $\QTR{large}{X}$ un conjunto no vacío. El conjunto $\QTR{large}{R}^{X}$ de todas las funciones de $\QTR{large}{X}$ en $\QTR{large}{R}$ es un espacio vectorial real bajo las siguientes operaciones:

MATH

Si $\QTR{large}{X=R}$ entonces se obtiene el espacio de todas las funciones de variable real a valor real. Si $\QTR{large}{X}$ es un intervalo abierto, por ejemplo $\QTR{large}{(a,b)}$ o $\QTR{large}{R}$ , y $\QTR{large}{C(X)}$ es el conjunto de funciones continuas de $\QTR{large}{X}$ en $\QTR{large}{R}$ , entonces $\QTR{large}{C(X)}$ es un espacio vectorial real. Si $\QTR{large}{X=N}$ es el conjunto de números naturales, entonces resulta el espacio de las sucesiones reales.

Solución