SEDE BOGOTA

espacios vectoriales

Lección 2.

Espacios Vectoriales y Ejemplos.

Ejemplo 13.

Sea $\QTR{large}{X}$ un conjunto no vacío. El conjunto $\QTR{large}{R}^{X}$ de todas las funciones de $\QTR{large}{X}$ en $\QTR{large}{R}$ es un espacio vectorial real bajo las siguientes operaciones:

MATH

Si $\QTR{large}{X=R}$ entonces se obtiene el espacio de todas las funciones de variable real a valor real. Si $\QTR{large}{X}$ es un intervalo abierto, por ejemplo $\QTR{large}{(a,b)}$ o $\QTR{large}{R}$ , y $\QTR{large}{C(X)}$ es el conjunto de funciones continuas de $\QTR{large}{X}$ en $\QTR{large}{R}$ , entonces $\QTR{large}{C(X)}$ es un espacio vectorial real. Si $\QTR{large}{X=N}$ es el conjunto de números naturales, entonces resulta el espacio de las sucesiones reales.

Solución:

La idea es revisar todas las propiedades (axiomas) que definen un espacio vectorial. En primer lugar, nótese que en el ejemplo en cuestión, el cuerpo de escalares son los números reales, es decir, no necesitamos demostrar que $\U{211d}$ sea efectivamente un cuerpo. Esto lo damos por conocido. Mas bien, debemos establecer que el conjunto de vectores $\U{211d} ^{X}$ es un un grupo abeliano y que la acción de los escalares reales por estos vectores satisfacen las propiedades de la definición de la Lección 2.

La primera observación que debemos hacer es que la suma de dos elementos de $\U{211d} ^{X}$ es nuevamente una función de $\U{211d} ^{X}$ : esto es claro a partir de la definición de suma: actuando en $x\in X$ es , en otras palabras, la operación de suma en $\U{211d} ^{X}$ es interna.

En segundo lugar, esta operación es asociativa en el sentido que , donde : en efecto, esto se debe a que la suma de reales es una operación asociativa:

, en esta última igualdad hemos aplicado la propiedad asociativa de la suma de números reales. Se concluye entonces que , es decir, .

La suma definida tiene elemento neutro, es decir, vector nulo: en efecto, la función definida por para cada $x\in\U{211d}$ es tal que para cada $f\in\U{211d}$ .

Cada elemento $f\in\U{211d}$ tiene su inverso respecto de esta suma, es decir, su función opuesta: esta función opuesta se denota por y es definida por , para cada $x\in X$ . Nótese que .

La suma definida es claramente conmutativa.

Hemos pues probado que $\U{211d} ^{X}$ es ciertamente un grupo abeliano.

Ahora debemos verificar el cumplimiento de las propiedades relativas al producto de escalar por vector: la operación está bien definida, es decir, es una operación externa y cumple las siguientes propiedades:

, es decir, , donde es un escalar real.

, es decir, .

Finalmente, , es decir, .

Esto completa la demostración de todas las propiedades requeridas para tener una estructura de espacio vectorial real.