SEDE BOGOTA

espacios vectoriales

Lección 1.

Estructuras Algebraicas BÁsicas.

Sea $\QTR{large}{G}$ un conjunto no vacío. Una operación binaria interna en $\QTR{large}{G}$ es una función $\QTR{large}{\ast }$ con dominio y codominio $\QTR{large}{G}$ :

Si la operación $\QTR{large}{\ast }$ es asociativa en el sentido que

para cualesquiera elementos , entonces se dice que es un semigrupo.

Ejemplo 1. El conjunto de números naturales con la operación usual de adición es un semigrupo.

Si en el semigrupo existe un elemento $\QTR{large}{e}$ tal que

para cada elemento , entonces se dice que es un monoide con elemento neutro $\QTR{large}{e}$ . $\text{N\U{f3}tese}$ que en un monoide el elemento neutro es único.

Ejemplo 2. El conjunto $\QTR{large}{Z}$ de números enteros con la operación usual de multiplicación es un monoide con elemento neutro $\QTR{large}{1}$ .

Sea un monoide. Si cada elemento tiene un inverso , es decir, existe un elemento tal que

entonces se dice que es un grupo. Nótese que en un grupo cada elemento tiene un único inverso. Si el contexto lo permite, un grupo será denotado simplemente por $\QTR{large}{G}$ .

Ejemplo 3. El conjunto $\QTR{large}{Z}$ de números enteros con la operación usual de adición conforma un grupo.

Un grupo $\QTR{large}{G}$ se dice conmutativo ( = abeliano) si su operación es conmutativa, es decir,

para cualesquiera elementos . Obsérvese que el grupo aditivo de números enteros es conmutativo. Se acostumbra a denotar la operación de un grupo conmutativo mediante el símbolo $\QTR{large}{+}$ .

Se ha visto que el conjunto $\QTR{large}{Z}$ de números enteros posee dos operaciones $\QTR{large}{+}$ y tal que respecto de la primera es un grupo abeliano, mientras que bajo la segunda es un monoide. Conjuntos con tales condiciones conforman los llamados anillos. Más exactamente, un anillo es un conjunto $\QTR{large}{A}$ dotado de dos operaciones $\QTR{large}{+}$ y tales que:

(a) $\QTR{large}{A}$ respecto de $\QTR{large}{+}$ es un grupo conmutativo

(b) $\QTR{large}{A}$ respecto de es un monoide

para cualesquiera elementos . El anillo $\QTR{large}{A}$ es conmutativo si su segunda operación es conmutativa.

En adelante $\QTR{large}{0}$ denotará el elemento neutro de la primera operación en $\QTR{large}{A}$ , $\QTR{large}{-\,a}$ será el inverso de $\QTR{large}{a}$ respecto de dicha operación y lo llamaremos el opuesto de $\QTR{large}{a}$ ; $\QTR{large}{1}$ denotará el elemento neutro de $\QTR{large}{A}$ respecto de la segunda operación y lo llamaremos el uno de $\QTR{large}{A}$ . Además, es costumbre omitir el entre dos elementos, así pues, el producto se escribirá simplemente como $\QTR{large}{ab}$ .

Ejemplo 4. El conjunto $\QTR{large}{Z}$ de números enteros con las operaciones habituales de adición y multiplicación es un anillo conmutativo.

Ejemplo 5. El conjunto $\QTR{large}{R[x]}$ de polinomios reales en la indeterminada con las operaciones habituales de adición y multiplicación de polinomios es un anillo conmutativo.

Ejemplo 6. El conjunto de matrices reales con las operaciones usuales de adición y multiplicación de matrices conforma un anillo.

En un anillo $\QTR{large}{A}$ cada elemento $\QTR{large}{a}$ tiene un opuesto $\QTR{large}{-a}$ , sin embargo, no todo elemento tiene un inverso respecto de la segunda operación. Por ejemplo, en $\QTR{large}{Z}$ el 2 no tiene inverso multiplicativo, es decir, no existe entero $\QTR{large}{b}$ tal que $\QTR{large}{2b=1}$ . En $\QTR{large}{R[x]}$ los únicos polinomios invertibles son las constantes no nulas; en las matrices de determinante no nulo son invertibles.

Si es invertible, entonces existe un único tal que ; la colección de elementos invertibles de $\QTR{large}{A}$ se denota por .

Ejemplo 7.

(a)

(b)

Proposición 1. Si es un anillo, entonces es un grupo.

Un anillo conmutativo $\QTR{large}{A}$ es un cuerpo si cada elemento no nulo de $\QTR{large}{A}$ tiene inverso multiplicativo. En otras palabras, $\QTR{large}{A}$ es un cuerpo si $\QTR{large}{A}$ es conmutativo y .

Ejemplo 8. El conjunto $\QTR{large}{Q}$ de números racionales con las operaciones usuales de adición y multiplicación es un cuerpo. De igual manera, los conjuntos $\QTR{large}{R}$ y $\QTR{large}{C}$ de números reales y complejos, respectivamente, con las operaciones usuales de adición y multiplicación son ejemplos de cuerpos.

Esta sección se cierra con el concepto de isomorfismo, el cual permite clasificar los diferentes tipos de estructuras (grupos, anillos, cuerpos, etc...) de acuerdo a que sean "iguales" desde el punto de vista algebraico. La importancia de este concepto se entenderá más adelante; por ahora presentamos la definición. Dos grupos y se dicen isomorfos si existe una función biyectiva

tal que

para cualesquiera elementos . Dos anillos y se dicen isomorfos si existe una función biyectiva

tal que

para cualesquiera elementos . Obsérvese que necesariamente y para cada elemento invertible de $\QTR{large}{a}$ de . Además, la relación "ser isomorfo" es de equivalencia.