SEDE BOGOTA

espacios vectoriales

Lección 4.

Bases.

En cada espacio vectorial existen ciertos subconjuntos conocidos como bases ; la importancia de estos subconjuntos radica en que cada elemento del espacio puede ser representado de manera $\text{\U{fa}nica}$ a través de sus elementos. El propósito de la presente lección es explicar en detalle la noción de base, la cual es fundamental en álgebra lineal.

Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo y un subconjunto no vacío de , se dice que es un sistema de generadores para si la envolvente lineal de coincide con , es decir, . El espacio se dice finitamente generado si existe en un subconjunto finito de generadores.

Por otra parte, sea un subconjunto finito de , se dice que es un conjunto de vectores linealmente independientes (L I) si la única combinación lineal nula con los elementos de es a través de escalares nulos. Más exactamente, los vectores de son linealmente independientes si para cualesquiera escalares se cumple que

Por definición, se asume que el conjunto vacío es L I. Un subconjunto cualquiera de es L I si cada subconjunto finito de es L I. es linealmente dependiente (L D) si no es L I.

La siguiente proposición reune algunas propiedades básicas sobre dependencia e independencia lineal.

Proposición 4. Sea un -espacio y . Entonces

(a) es L D si y solo si existe $x\in S$ tal que $x\in \,<S\U{b4}>$ , donde $S\U{b4}=S-\{x\}$ .

(b) Si $0\in S$ entonces es L D.

(d) Si es finito y LI con $n\geq 0$ elementos, entonces cada conjunto de elementos de es L D.

Demostración

Ejercicio 1. Demuestre que en el espacio $R^{R}$ el conjunto $\QTR{bf}{N\}}$ es L I.

Solución

Ejercicio 2. Demuestre que dos vectores de $R^{2}$ son L D si y sólo si pertenecen a la misma recta que pasa por el origen.

Ya se puede presentar la noción de base. $X\subset V$ es una base para si se cumplen dos condiciones:

(a)

(b) es L I.

Ejemplo 19. En $R^{n}$ los vectores

constituyen la llamada base canónica (1 se encuentra en la i-ésima entrada de la n-pla). Cambiando $\QTR{bf}{R}$ por cualquier cuerpo se obtiene la base canónica de $K^{n}$ .

Ejemplo 20. En el espacio el conjunto de polinomios constituye su base canónica. En el subespacio $R_{n}[x]$ de polinomios de grado $\leq n$ la base canónica es .

Ejemplo 21. En el espacio $M_{2}[R]$ de matrices reales $2\times 2$ se tiene la siguiente base canónica:

MATH

Ejemplo 22. En el espacio $R^{N\text{ }}$ de sucesiones reales la colección de sucesiones

conforman la base canónica para el subespacio de sucesiones polinómicas .

Ejemplo 23. El conjunto $\emptyset$ es, por definición, la única base del espacio nulo $0=\{0\}.$

Una de las principales caracterizaciones del concepto de base se establece en la siguiente proposición.

Proposición 5. Sea un -espacio y un subconjunto no vacío de . es una base de si y sólo si cada elemento $v\in V$ tiene una representación única (salvo sumandos nulos) como combinación lineal de elementos de en la forma: