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Ejercicio 1. Demuestre que en el espacio
el conjunto
es L I.
Solución. Se debe tomar un subconjunto finito arbitrario de
y demostrar que es L I. Sea
un subconjunto finito de
.
Si
es vacío, entonces por definición
es L I. Sea
no vacío,
,
y sean
reales tales que
.
Escogemos el mayor de los exponentes naturales, sin pérdida de
generalidad podemos suponer que dicho exponente es
;
multiplicamos a ambos lados de la ecuación anterior por
,
y obtenemos
.
En esta función al hacer
encontramos que
.
Podemos ahora repetir el mismo razonamiento con los otros coeficientes y
encontrar que todos resultan nulos. Esto demuestra la independencia lineal del
conjunto
.▫