SEDE BOGOTA

espacios vectoriales

Lección 5.

DimensiÓn.

En esta lección se discutirán los siguientes aspectos relativos a las bases: existencia, unicidad y cardinalidad ( = cantidad de elementos). El punto de partida será el teorema sobre existencia de bases en cualquier espacio vectorial. La prueba de este teorema se apoya en el Lema de Zorn ( = axioma de elección), el cual representa uno de los supuestos básicos de la teoría clasica de conjuntos. El lector no interesado en la prueba puede simplemente asumir el Teorema 1 como un axioma.

Max Zorn

Teorema 1. Todo espacio vectorial posee al menos una base.

Demostración

Con respecto a la unicidad de las bases se puede decir que, en general, un espacio vectorial tiene infinitas bases. En efecto, si el espacio es no nulo (si es nulo su única base es $\emptyset\,$ ) y si es una base cualquiera de y es un elemento de , entonces cambiando por en , con cada $a\in K-\{0 \}$ , se obtienen bases distintas en . Cuando es infinito esta colección de bases es infinita. En realidad, el único espacio con base única es el espacio nulo.

Mucho más interesante que la pregunta sobre la unicidad de las bases es el problema sobre el tamaño de éstas. Las siguientes proposiciones constituyen la prueba del Teorema 2 que se enunciará más adelante.

Proposición 6. Si un espacio vectorial posee una base finita, entonces todas sus bases son finitas.

La proposición anterior permite clasificar los espacios vectoriales en dos categorías: los de bases finitas y los de bases infinitas.

Proposición 7. Sea un espacio vectorial con bases finitas y . Entonces .

Demostración

Proposición 8. Sea un espacio vectorial con bases infinitas . Entonces .

Demostración

Teorema 2. Para cada espacio vectorial se cumple que todas las bases tienen la misma cardinalidad.

El teorema anterior permite definir la noción de dimensión en un espacio vectorial como el tamaño de cualquiera de sus bases ; se denotará este invariante de por $\dim _{K}(V)$ , o simplemente por $\dim (V)$ , si es claro sobre qué cuerpo se está trabajando. Si es de bases infinitas se dirá que es de dimensión infinita. Si es un subconjunto de , se define el rango de , $rank_{K}(X)$ , como la dimensión de la envolvente lineal de , es decir, .

Ejemplo 24. $\dim ($ $R^{n}$ )=n

es de dimensión infinita

$\dim ($ $R_{n}[x]$

$\dim ($ $M_{2}R$

$\dim(0)=0$ .

Ejercicio 3. Demuestre que si un espacio vectorial posee un subconjunto infinito L I, entonces es de dimensión infinita.

A continuación se presentarán algunas propiedades interesantes de los espacios de dimensión finita.

Proposición 9. Sea un -espacio vectorial de dimensión $n\geq 1$ . Entonces,

(a) Cada conjunto de elementos L I de conforman una base.

(b) Cada conjunto de generadores de conforman una base de .

(d) Sea un subespacio de . Entonces, cada base de puede extenderse hasta una base de . En particular, $\dim(S)\leq\dim(V)$ .

(e) Sean elementos cualesquiera de y su envolvente lineal . Entonces, $\dim (S)$ coincide con el número de vectores L I encontrados en la colección de vectores dados.

Demostración