SEDE BOGOTA

espacios vectoriales

Lección 5.

DimensiÓn

Teorema 1. Todo espacio vectorial posee al menos una base.

Demostración. La prueba de este teorema se apoya en uno de los supuestos de la teoría clásica de conjuntos: el lema de Zorn. Para los lectores no familiarizados con este axionam se explicarán brevemente algunos de los términos de su enunciado. Un conjunto no vacío es parcialmente ordenado si en está definida una relación de orden $\leq$ . Un subconjunto no $\text{vac\U{ed}o}$ $\,N$ de es totalmente ordenado si cualesquiera dos elementos de son comparables, es decir, se tiene al menos una de las siguientes posibilidades: $a\leq b$ , $b\leq a$ . Un elemento $x\in M$ es una cota superior para el subconjunto de si $a\leq x$ para cada elemento $a\in N$ . Finalmente, se dice que el elemento $x\in M$ es maximal si no existe en tal que $z\neq x$ y $x\leq z$ .

Lema de Zorn. Sea $(\,M\,,\,\leq \,)$ un conjunto parcialmente ordenado tal que cada subconjunto totalmente ordenado de tiene cota superior en . Entonces, posee al menos un elemento maximal.

Ya se puede iniciar la prueba del teorema. Sea un -espacio vectorial y sea $M\,$ la colección de subconjuntos de que son L I. $M\neq \emptyset \,$ ya que $\emptyset \in M$ . La relación $\subseteq$ de inclusión entre conjuntos define un orden parcial en . Sea $N\QTR{cal}{\,\,}$ un subconjunto de totalmente ordenado. Sea

Claramente, es una cota superior para $N\,$ ; nótese que $X\in M\,$ , es decir, es L I. Sea un subconjunto finito de $X\,$ ; existen $L_{1}$ tales que . Como es totalmente ordenado se puede suponer que para cada $1\leq i\leq n\,$ ; por tanto, , es decir, $Z\subseteq L_{1}$ ; como $L_{1}$ es L I entonces es L I. Esto completa la prueba de que es L I.

Por el lema de Zorn, $M\,$ tiene elemento maximal $X_{0}$ , el cual, por construcción, es L I ; nótese que $<X_{0}>=V$ : obviamente ; sea $v\in V$ , si $v\in X_{0}$ , entonces $v\in$ $<X_{0}>$ ; supóngase que $v\notin X_{0}$ . Si entonces $v\in \,<X_{0}>$ ; sea $v\neq 0$ . Por la maximalidad de $X_{0}$ , $X_{0}\cup \{v\}$ es L D, entonces existen elementos y escalares no todos nulos tales que . Debido a la independencia lineal de los elementos se debe tener que $a\neq 0$ , de donde, despejando , se tiene que $v\in$ $<X_{0}>$ . En total, y se ha probado que $<X_{0}>=V$ . $\Box$