SEDE BOGOTA

espacios vectoriales

Lección 6.

Ejercicios.

Esta sección contiene una lista de ejercicios de aplicación a los temas tratados en el presente capítulo. Se sugiere a los estudiantes resolver estos problemas, los cuales ayudarán a reforzar el aprendizaje.

Sea esta la oprtunidad para ratificar la disponibilidad de los profesores para resolver cualquier duda sobre la temática del presente curso. Sus preguntas y comentarios pueden ser enviados via e-mail o también usando la página de visitantes en donde podrán usar un formato especialmente diseñado para tal efecto.

Problema 1. En el conjunto $\QTR{large}{R}^{+}$ de números reales positivos se definen las siguientes operaciones:

(el producto corresponde a la multiplicación corriente de números reales positivos)

( $\QTR{large}{a}$ es un número real arbitrario y )

Investigar si $\QTR{large}{R}^{+}$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo de números reales.

Solución

Problema 2. Sea $\QTR{large}{F}$ el conjunto de todas las sucesiones de números reales que satisfacen la condición

, para

Investigar si $\QTR{large}{F}$ es un subespacio vectorial del espacio vectorial de todas las sucesiones reales. Véase la Lección 2 del presente capítulo .

Solución

Problema 3. Sean $\QTR{large}{a,b,c}$ números reales diferentes fijos. Investigar si los siguientes polinomios son linealmente independientes:

Solución

Problema 4. Sea el espacio de polinomios reales de grado . Demostrar que cualquier subconjunto $\QTR{large}{X}$ de que para cada contiene un único polinomio de grado $\QTR{large}{k}$ , constituye una base de .

Problema 5. Sea el espacio de polinomios reales de grado $\leq n$ y sea $\QTR{large}{W}$ el subconjunto de polinomios $\QTR{large}{p(x)}$ que satisfacen la condición . Demostrar que $\QTR{large}{W}$ es un subespacio de de dimensión $\QTR{large}{n-1}.$ Mostrar al menos una base de $\QTR{large}{W}.$

Problema 6. Sea $\QTR{large}{X}$ un sistema no vacío finito de vectores de un espacio vectorial $\QTR{large}{V}$ . Demostrar que la dependencia o independencia lineal de $\QTR{large}{X}$ no se altera si sobre los elementos de se aplican los siguientes cambios: intercambiar el orden de dos vectores, multiplicar un vector de por un escalar no nulo, agregar a un vector de otro vector de que ha sido multiplicado por un escalar. (Estos cambios se conocen con el nombre de operaciones elementales sobre el conjunto . Para la demostración cada operación por separado).

Problema 7. Dos conjuntos de vectores de un espacio vectorial se dicenequivalentes si sus envolventes lineales coinciden (véase la Lección 3 del presente capítulo ). Estudiar la veracidad de la siguiente afirmación: es equivalente a si y sólo si

Problema 8. Utilizando las ideas de los dos problemas anteriores, calcular el rango de los siguientes sistemas de vectores:

Problema 9. Recordando que los polinomios son vectores, calcular el rango de los siguientes sistemas de polinomios:

b) MATH

Problema 10. Completar el siguiente sistema de polinomios hasta una base de :

Problema 11. Demostrar que la conmutatividad de la suma de vectores se desprende de las restantes propiedades que definen un espacio vectorial.

Problema 12. Sean vectores linealmente independientes en un espacio vectorial. Cuáles de los siguientes sistemas de vectores son también linealmente independientes ?

Problema 13. Sea $\QTR{Bbb}{R}$ el conjunto de números reales considerado como espacio vectorial sobre los números racionales. Pertenece el real $\root{4} \of{3}$ a la envolvente lineal de los reales y $\sqrt{3}$ ?