SEDE BOGOTA

espacios vectoriales

Lección 6.

Ejercicios

Problema 17. Sea un cuerpo finito con elementos. ¿Cuántas bases ordenadas distintas tiene $K^{n}$ , $n\geq 1$ .

Solución.

Cualquier base de $K^{n}$ consta de elementos LI. Por tanto, el problema se reduce a construir todos los posibles conjuntos distintos de elementos LI en el espacio $K^{n}$ . Sea el primer vector de la lista, entonces $v_{1}$ puede ser cualquier vector no nulo, es decir, el número de posibilidades para $v_{1}$ es $q^{n}-1$ . El segundo vector de la lista no puede ser múltiplo de $v_{1}$ , es decir, $v_{2}$ no puede ser de la forma $v_{2}=a.v_{1}$ , donde $a\in K$ . Por tanto, el número de posibilidades para $v_{2}$ es $q^{n}-q$ . Así pues, el número posible de dos vectores LI en $K^{n}$ es . Para el tercer vector se debe tener que no puede ser combinación lineal de los dos anteriores, es decir, $v_{3}$ no puede ser de la forma . Por tanto, el número de posiblidades para $v_{3}$ es $q^{n}-q^{2}$ . Continuando el razonamiento de esta manera se encuentra que el número total de vectores LI es MATH .