| Lección 5. |
DimensiÓn
|
Proposición 9. Sea
un
-espacio
vectorial de dimensión
.
Entonces,
(a) Cada conjunto de
elementos
L I de
conforman
una base.
(b) Cada conjunto de
generadores
de
conforman
una base de
.
(c) Sea
y
sean
vectores
L I de
.
Entonces es posible encontrar vectores
en
tales
que
es
una base de
.
(d) Sea
un
subespacio de
.
Entonces, cada base de
puede extenderse hasta una base de
.
En particular,
.
(e) Sean
elementos
cualesquiera de
y
su
envolvente lineal
. Entonces,
coincide
con el
número de vectores L I encontrados en la colección
de
vectores dados.
Demostración. (a) Sean
vectores LI y sea
un elemento de
.
Si
,
entonces
.
Si
,
entonces se tienen
elementos en
que resultan LD (ver la
Proposición 4
parte (d) con
una base cualquiera de
).
Sean
escalares no todos nulos tales que
.
Entonces
es no nulo debido a la independencia lineal de los vectores
.
Despejando
se tiene que
.
Con esto se ha probado que
.
(b) Sean
vectores de
tales que
.
Supóngase que estos vectores son LD, como se vió en la parte (a),
uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros,
,
con lo cual
.
Esto hace que cualquier base de
resulte LD (véase la
Proposición 4
parte (d)).
(c) Según el
Teorema 2
, los
vectores no pueden ser una base para
.
Por
tanto,
.
Sea
.
El sistema
es LI. Si
,
entonces de acuerdo a la parte (a), este conjunto es una base de
.
Si
entonces
y se puede repetir el razonamiento hasta completar la base.
(d) Si
entonces
.
Sea
y
una base de
.
Si
entonces, según la
Proposición 4
, estos vectores son LD, lo cual es falso. Por tanto,
.
(e) Si todos los vectores dados son nulos, entonces la afirmación se
cumple trivialmente. Supóngase entonces que al menos uno de los vectores
es no nulo. Sea
la colección de subconjuntos LI de
.
ya que un vector unitario no nulo constituye un conjunto LI. Se puede escoger
en
un conjunto de mayor cardinalidad, por ejemplo,
;
de esta forma cualquier subconjunto de
elementos es LD. Sea
.
Existen escalares
tales que
.
Para cada
el conjunto
es entonces LD. Existen escalares no todos nulos
tales que
.
No es posible que
ya que los vectores
son LI. De esta forma,
,
para cada
.
Esto implica que
y
es una base de
.
