SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 2.

Sistemas de Vectores Ortogonales

En la lección anterior definimos las bases ortonormales de un espacio euclidiano nos proponemos ahora demostrar la existencia de dichas bases para espacios de dimensión finita. El algoritmo que permite la construcción de tales bases se conoce como el método de ortogonalización de Gram-Schmidt. Este método se puede sin embargo aplicar para la construcción de conjuntos ortogonales de tamaño infinito enumerable.

Teorema 1. Sea un espacio euclidiano y sea una sucesión de elementos de . Entonces existe en una sucesión de vectores que satisface las siguientes propiedades:

a) Para cada $k\geq2$ el vector $v_{k}$ es ortogonal a la envolvente lineal

b) Para cada $k\geq1$

c) La sucesión es única salvo factores escalares.

Demostración

Los vectores se construyen de manera recurrente en la siguiente forma:

$v_{1}=u_{1}$

MATH

Corolario 1. Sea un espacio euclidiano de dimensión finita $n\geq 1$ y sea una base de . Entonces, el conjunto de vectores definido por el teorema anterior conforma una base ortogonal de . Una base ortonormal de se obtiene normalizando ésta: definimos

Ejemplo 7. Polonomios de Legendre: Sea $\QTR{bf}{R}[x]$ el espacio de polinomios reales y el producto interno dado por

Sea la base canónica de $\QTR{bf}{R}[x]$ , entonces la sucesión de polinomios construida en el teorema anterior viene dada por

$v_{0}(x)=1$

$v_{1}(x)=x$

$\vdots$

y se conoce como la sucesión de polinomios de Legendre. El término -ésimo se conoce como la fórmula de Rodríguez.

Ejercicio 3. Construir una base ortonormal en el espacio $\QTR{bf}{R}^{4}$ del subespacio , donde $u_{1}=<2,3,-4,-6>$ , $u_{2}=<1,8,-2,-16>$ , $u_{3}=<12,5,-14,5>$ y $u_{4}=<3,11,4,-7>.$

Solución