SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 2.

Sistemas de Vectores Ortogonales

Ejercicio 3. Construir una base ortonormal en el espacio $\QTR{bf}{R}^{4}$ del subespacio , donde $u_{1}=<2,3,-4,-6>$ , $u_{2}=<1,8,-2,-16>$ , $u_{3}=<12,5,-14,5>$ y $u_{4}=<3,11,4,-7>.$

Solución Usamos el método de Gram-Schmidt: ,

Ahora,

, es decir, ; de donde

, es decir, , por tanto

, es decir, . En este caso no definimos $w_{4}$ .

Lo anterior indica que y es una base ortonormal de esta envolvente lineal.

De otra parte, y como complemento a este ejercicio, el SWP produce la descomposición de una matriz cuyos vectores columna son los vectores dados de tal forma que la matriz tiene en sus columnas la base ortonormal buscada:

MATH

MATH .

Nótese que en la matriz aparece un cuarto vector columna que también es ortogonal a los otros 3 vectores: las cuatro columnas constituyen una base ortonormal de $\QTR{Bbb}{R}^{4}$ . La pregunta que surge es, cómo se calcula este cuarto vector? En otras palabras, dado un sistema de vectores ortogonales en un espacio euclidiano (unitario) de dimensión , como se completa este sistema hasta una base ortonormal de ?

En el presente ejercicio, buscamos un vector $w_{4}=(a,b,c,d)$ tal que y . Entonces,

MATH

Con el SWP la solución es: que es exactamente la cuarta columna dada por el SWP en la descomposición . $\Box$