SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 2.

Sistemas de Vectores Ortogonales

Teorema 1. Sea un espacio euclidiano y sea una sucesión de elementos de . Entonces existe en una sucesión de vectores que satisface las siguientes propiedades:

a) Para cada $k\geq2$ el vector $v_{k}$ es ortogonal a la envolvente lineal

b) Para cada $k\geq1$

c) La sucesión es única salvo factores escalares.

Demostración. La construcción de la sucesión se realiza por inducción.

Paso 1. Si la sucesión dada tiene un solo vector $u_{1}$ entonces se toma $v_{1}=u_{1}$ y las condiciones a)-c) se cumplen trivialmente.

Paso 2. Supóngase que ya han sido construidos vectores $v_{1},\ldots,v_{k}$ que cumplen a)-c). Para construir el vector $v_{k+1}$ hacemos

MATH

Veamos entonces que a) se cumple: sea $j\leq k$ , entonces

en el caso en que $v_{j}\neq0$ , si $v_{j}=0$ entonces también $(v_{k+1},v_{j})=0.$ Hemos probado la condición a).

Paso 3. Veamos que . Sea , existen tales que , pero por construcción .

Sea ahora , entonces existen tales que , pero por construcción , luego . Hemos probado b).

Paso 4. Por inducción hemos supuesto que los vectores construidos satisfacen c). Sean vectores que también satisfacen a) y b). Entonces, , luego , donde ; según a), , luego , de donde y $w_{k+1}=e.v_{k+1}.$ Esto completa la prueba de c) y del teorema. $\Box$