SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 3.

Complemento Ortogonal y Proyecciones

Sea un espacio euclidiano y un subconjunto no vacío de . Se dice que el vector $v\in V$ es ortogonal al conjunto si para cada $u\in S$ . Se define el ortogonal de por

, para cada $u\in S\}.$

Proposición 5. Sea un espacio euclidiano y un subconjunto no vacío de . Entonces

a) $S^{\perp}$ es un subespacio de . Además, .

b) Si es un subespacio de de dimensión finita con base ortonormal , entonces , cada vector $v\in V$ tiene una representación única en la forma $v=w+w^{\perp }$ , donde y tal que . Además, . El subespacio $W^{\perp }$ se denomina el complemento ortogonal de .

La proposición anterior permite definir las proyecciones. Sea un espacio euclidiano y sean $u,v\in V$ con $v\neq 0.$ El vector se denomina la proyección de sobre . Sea un subespacio de de dimensión finita y sea una base ortonormal de El vector se denomina la proyección ortogonal de sobre y el vector se denomina la perpendicular de al subespacio .

Proposición 6. Sea un espacio euclidiano y un subespacio de de dimensión finita. Sea $v\in V$ , entonces el vector más próximo de a es la proyección ortogonal de sobre Mas exactamente, para cada $u\in W.$ Además, si y sólo si .

Demostración

Ejercicio 4. Determinar la función polinómica de primer grado más próxima a la función $f(x)=e^{x}$ en el intervalo .

Solución

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