SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 3.

Complemento Ortogonal y Proyecciones

Proposición 6. Sea un espacio euclidiano y un subespacio de de dimensión finita. Sea $v\in V$ , entonces el vector más próximo de a es la proyección ortogonal de sobre Mas exactamente, para cada $u\in W.$ Además, si y sólo si .

Demostración. Sea $w^{\perp }$ la perpendicular de sobre de tal forma que $v=w+w^{\perp }$ ; sea un vector cualquiera de , entonces y se tiene que y $w-u\in W$ . De acuerdo a la Proposición 5 , luego , es decir, . La igualdad se da si y sólo si , es decir, si y sólo si $\Box$