SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 4.

Espacios Unitarios

Esta lección está dedicada a estudiar los espacios complejos dotados con un producto interno. Las propiedades de estos espacios son similares a las de los espacios euclidianos que consideramos en las Lecciones 1,2 y 3. La diferencia más importante radica en el cambio de la simetría corriente a la simetría de Hermite.

Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo de números complejos $\QTR{bf}{C}$ , se dice que es un espacio unitario si existe en un producto interno $(\,,\,)$ que asigna a cada par de elementos $u,v\in V$ un número complejo de tal forma que se cumplen las siguientes propiedades:

c) (simetría de Hermite)

d) Si $u\neq0$ , entonces

para cualesquiera vectores $u,v\in V$ y cada escalar $a\in\QTR{bf}{C}$ .

En los espacios unitarios se tiene que , donde la barra indica conjugación compleja.

Ejemplo 8. El producto interno canónico en $\QTR{bf}{C}^{n}$ se define de la siguiente manera: si entonces

Ejemplo 9. Sea el espacio de las funciones continuas definidas en el intervalo real y con valores complejos, es decir, cada función es de la forma , donde En se define el producto interno canónico por .

Ejemplo 10. En el espacio $M_{n}(\QTR{bf}{C)}$ de matrices cuadradas complejas de orden $n\geq 1$ está definido el producto interno canónico dado por MATH donde

La gran mayoría de las propiedades de los espacios euclidianos se mantienen para los espacios unitarios. A continuación presentamos un resumen de las propiedades estudiadas en las lecciones anteriores pero un su versión compleja.

1) para cada $v\in V.$

2) si y sólo si

3) si y sólo si para cada $v\in V.$

4) Desigualdad de Cauchy-Schwartz: para cualesquiera vectores $u,v\in V.$ Las barras indican el módulo de un complejo. Además, la igualdad se da si y sólo si son LD.

5) Todo espacio unitario es normado.

6) Los conceptos de ortogonalidad y ortonormalidad se definen como en el caso euclidiano.

7) Se cumple el teorema de Pitágoras.

8) La Proposición 2 se cumple.

9) El método de Gram-Schmidt para la construcción de bases ortonormales se mantiene.

10) Los conceptos y propiedades de la Lección anterior se mantienen.

11) Las Proposiciones 3 y 4 toman la siguiente forma:

Sea un espacio unitario de dimensión finita $n\geq 1$ y sea una base de . Entonces la matriz $A=[a_{ij}]$ definida por se conoce como la matriz del producto interno $(\,,\,)$ y tiene las siguientes propiedades:

a) Si , entonces MATH

c) Para cada matriz columna no nula MATH se cumple que

d) es invertible.

e) Si la base es ortogonal, entonces las coordenadas $b_{1},\ldots,b_{n}$ del vector en la base vienen dadas por

f) Si es ortonormal, entonces MATH

Con una matriz compleja que cumpla b) y c) podemos definir un producto interno en un espacio complejo de dimensión finita mediante , donde MATH son las coordenadas complejas respectivas de los vectores y en una base ortonormal

Para terminar, veamos como se puede definir el ángulo entre dos vectores no nulos de un espacio unitario Nótese que , luego (por la desigualdad de Cauchy-Schwartz). Por lo tanto, , es decir, . Se define entonces el ángulo entre y como el único real $0\leq\theta\leq\pi$ tal que

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