SEDE BOGOTA

matrices

Lección 1.

Espacios Vectoriales de Matrices

El objetivo central del presente capítulo es establecer el isomorfismo entre el álgebra de transformaciones lineales de un -espacio de dimensión finita y el de matrices cuadradas de orden sobre . Este isomorfismo permite un mejor manejo algebraico de las transformaciones lineales en términos de matrices. Otro aspecto importante tratado en este capítulo es el de la clasificación de matrices en términos de equivalencia y similaridad. En la última lección se estudian las matrices invertibles.

Sea un cuerpo y enteros $\geq 1$ , una matriz sobre de orden ( = tamaño) $m\times n$ es una tabla de filas y columnas cuyas entradas pertenecen a

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Los elementos , y se conocen como las entradas de la matriz ; el elemento de ubicado en la intersección de la i-ésima fila y la j-ésima columna se denota por $a_{ij}.$ La matriz se denota brevemente por $A=[a_{ij}]$ . La i-ésima fila de se denota por y puede considerarse como un vector de $K^{n}$ , la j-ésima columna de se representa por

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y puede considerarse como un vector de $K^{m}$ . Dos matrices $A=[a_{ij}]$ y $B=[b_{ij}]$ , del mismo tamaño, son iguales si y sólo si $a_{ij}=b_{ij}$ , para cada . Una matriz se dice que es cuadrada si el número de filas coincide con el número de columnas, es decir, . Una matriz fila es una matriz de una sola fila, una matriz columna es una matriz con una sola columna. El conjunto de matrices sobre de tamaño $m\times n$ se denota por , para el conjunto de matrices cuadradas de tamaño $n\times n$ se utiliza la notación .

Se puede ya enunciar el primer hecho sobresaliente relacionado con los arreglos matriciales definidos arriba.

Proposición 1. Sea un cuerpo y $M_{mn}(K)$ el conjunto de matrices de tamaño $m\times n$ sobre . Entonces, $M_{mn}(K)$ es un espacio vectorial sobre de dimensión , respecto de las siguientes operaciones:

, $a\in K.$

La prueba de esta proposición es muy sencilla, solo se debe destacar que el vector nulo es la matriz nula

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la opuesta de la matriz $A=[a_{ij}]$ es la matriz $\,-A=[-a_{ij}]$ , y la
base canónica es

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donde $E_{rs}$ es una matriz con una sola entrada no nula, la entrada correspondiente a la intersección de la r-ésima fila y la s-ésima columna, donde aparece el escalar .

Esta proposición es válida para todos los enteros positivos y , en particular, se cumple para , es decir, para las matrices cuadradas. De esta forma se generaliza el Ejemplo 12 del Capítulo 1. De otra parte, de acuerdo al Teorema 3 del capítulo anterior,

Además de la suma de matrices y el producto de escalar por matriz definidos arriba, es posible realizar productos entre matrices que cumplan una condición de compatibilidad: el número de columnas del primer factor debe coincidir con el número de filas del segundo factor. De este producto se ocupa el resto de la presente lección.

Sean matrices de tamaños y , respectivamente. Se define el producto de y , en ese orden, como la matriz

, $1\leq i\leq m$ , $1\leq j\leq p.$

Nótese que el elemento $c_{ij}$ de la matriz producto corresponde a realizar la multiplicación entre la i-ésima fila de y la j-ésima columna de :

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Todas las propiedades enunciadas en la siguiente proposición se demuestran directamente a partir de las definiciones anteriores.

Proposición 2. Sean matrices sobre el cuerpo tal que cumplen las condiciones de compatibilidad requeridas para cada una de las operaciones indicadas. Entonces:

1) $(AB)\,C=A\,(BC).$

3) $(B+C)\,A=BA+CA.$

4) , para cada $a\in K.$

5) Para cada $n\geq 1$ se define la matriz idéntica de orden como la matriz cuadrada de tamaño $n\times n$ ,

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es decir, $E=[e_{ij}]$ , donde $e_{ij}=1$ si , y $e_{ij}=0$ si $i\neq j$ . Entonces, para cada matriz de orden $m\times n$ se tiene que

$A\,E=A$ , $E\,A=A\,,$

donde en la primera ecuación denota la idéntica de orden y en la segunda es la idéntica de orden . Una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ es invertible si existe otra del mismo orden tal que

De la discusión anterior se obtiene de manera inmediata la siguiente afirmación.

Proposición 3. Sea un cuerpo y $M_{n}(K)$ el conjunto de matrices de tamaño $n\times n$ sobre . Entonces, $M_{n}(K)$ es un álgebra sobre .

Ejercicio 1. Sea $\{E_{rs}\}$ la base canónica de $M_{n}(K)$ . Demuestre que

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Se concluye la lección definiendo la transpuesta de una matriz $A=[a_{ij}]$ de tamaño $m\times n$ : se denota por $A^{T}$ y es la matriz de tamaño $n\times m$ obtenida de "convirtiendo" las columnas de en filas, es decir, , para cada $1\leq j\leq n$ . Es fácil demostrar que si y son matrices compatibles para el producto, entonces , además, si es una matriz invertible, entonces $A^{T}$ es también invertible y