SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 3.

Operaciones con Transformaciones Lineales

En esta lección se muestra que el conjunto de todas las transformaciones lineales entre dos -espacios y es un -espacio. Se verá además que cuando dicho conjunto es una -álgebra.

Sea $L_{K}(V,W)$ el conjunto de todas las transformaciones lineales del espacio en el espacio . $L_{K}\,(V,W)$ adquiere estructura de espacio vectorial respecto de las siguientes operaciones:

Para $T_{1}$ , y $v\in V$ se define la suma por MATH

La acción de escalares sobre transformaciones viene dada por

MATH

donde $a\in K$ y $T\in L_{K}\,(V,W).$ Nótese que el cero de $L_{K}\,(V,W)$ es la transformación nula y la opuesta de $T\in L_{K}\,(V,W)$ es la
transformación definida por

MATH

$L_{K}\,(V,W)$ se conoce también como el espacio de operadores lineales de en .

Además de las dos operaciones definidas anteriormente, se puede considerar la composición de transformaciones lineales como una tercera operación.

En efecto, sean $T\,:V\rightarrow W$ y dos transformaciones lineales de tal manera que se cumpla la condición habitual de compatibilidad: $Im(T\,)\subseteq Z$ . Entonces la función compuesta $S\,{}T$ definida para cada $v\in V$ por

MATH

es una transformación lineal.

Las tres operaciones introducidas gozan de las siguientes propiedades algebraicas.

Sean transformaciones lineales compatibles para las operaciones indicadas. Entonces

, $a\in K$

$I\,T=T=T\,I$ ,

donde es la transformación idéntica respectiva.

De acuerdo a la discusión anterior, el espacio , de transformaciones lineales de en si mismo, viene dotado de tres operaciones: suma de vectores, producto de escalares por vectores y producto entre vectores. Resulta entonces que $L_{K}\,(V\,\,)$ es un álgebra sobre el cuerpo , en el sentido de la siguiente definición.

Sea $\QTR{cal}{A}$ un espacio vectorial sobre un cuerpo , se dice que $\QTR{cal}{A}$ es un álgebra sobre , o también que $\QTR{cal}{A}$ es una -álgebra, si en $\QTR{cal}{A}$ está definido un producto entre vectores que cumple las siguientes condiciones:

, $a\in K$

donde , $a\in K$ y es el elemento neutro del producto de vectores.