SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 2.

NÚcleo e Imagen

Sea $T:V\rightarrow \,W$ una transformación lineal de en ; se define el núcleo de como

Nótese que $N\,(T)$ es un subespacio de . Por otro lado, se define la imagen de como

para algún $v\in V\,\};$

$Im(T\,)$ es un subespacio de . Si es un subespacio de y es un subespacio de , entonces los conjuntos

son subespacios de y respectivamente. Obsérvese que $N\,(T)=T^{-1}(0)$ , e $Im(T)=T\,(V)$ . La dimensión del espacio imagen $Im(T\,)$ se conoce como el rango de la transformación $T\,$ , y se denota por $rank\,(T)$ .

Ejemplo 6. Considérese la función definida por

$R_{n}[x]\,$

es una transformación lineal con núcleo y $rank\,(T\,)=n+1$ .

Ejemplo 7. En el espacio de las sucesiones reales convergentes la función definida por

, donde

es una transformación lineal cuyo núcleo es el espacio de las sucesiones constantes y cuya imagen es el espacio de las sucesiones de límite .
Además, la sucesión constante es una base de y, por otro lado, las sucesiones

MATH

son linealmente independientes, con lo cual $Im\,(T\,)$ y son espacios de dimensión infinita.

Solución

A continuación se presenta y se pueba uno de los teoremas básicos del álgebra lineal.

Teorema 1. Sea un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ y sea $T:V\rightarrow W$ una tranformación lineal. Entonces

Demostración

Ejercicio 1. Demuestre que si en el enunciado del teorema anterior es un espacio de dimensión infinita, entonces $N(T\,)$ ó $Im(T\,)$ es de dimensión infinita, y viceversa.

Ejercicio 2. Sea un espacio vectorial de dimensión finita $n\geq 1$ y sean $V_{1}$ y $V_{2\text{ }}$ subespacios de tales que . Demuestre que existe una transformación lineal $T:\,V\rightarrow V$ tal que $N(T\,)=V_{1}$ e $Im\,(T\,\,)=V_{2}$ .

Solución

El siguiente teorema muestra que una transformación lineal queda completamente determinada por su acción sobre los vectores de una base. En otras palabras, para definir una transformación lineal basta conocer las imágenes de los vectores de una base.

Teorema 2. Sean y dos -espacios, una base de y $t:X\rightarrow W$ una función. Entonces existe una única transformación lineal $T:V\rightarrow W$ que extiende a , es decir, , para cada $x\in X$ .

Demostración