SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 2.

NÚcleo e Imagen

Ejemplo 7. En el espacio de las sucesiones reales convergentes la función definida por

, donde

es una transformación lineal cuyo núcleo es el espacio de las sucesiones constantes y cuya imagen es el espacio de las sucesiones de límite .
Además, la sucesión constante es una base de y, por otro lado, las sucesiones

MATH

son linealmente independientes, con lo cual $Im\,(T\,)$ y son espacios de dimensión infinita.

Solución. SSea el espacio de sucesiones reales convergentes y $T:V\rightarrow V$ , Nótese que efectivamente es una transformación lineal:

Vamos ahora a demostrar que su núcleo son las sucesiones contantes: sea $\{a_{n}\}$ una sucesión convergente de límite de tal forma que , es decir, para cada se tiene que $a-a_{n}=0$ , es decir, $a_{n}=a$ , es decir, la sucesión dada es constante.

Finalmente, veamos que la imagen de es el subespacio de las sucesiones de límite cero: sea $\{b_{n}\}$ una sucesión que pertenece a la imagen de , entonces por tanto, $b_{n}=a-a_{n},$ luego . Esto prueba que la sucesión dada es de límite cero.