SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 2.

Núcleo e Imagen

Teorema 2. Sean y dos -espacios, una base de y $t:X\rightarrow W$ una función. Entonces, existe una única transformación lineal $T:V\rightarrow W$ que extiende a , es decir, , para cada $x\in X$ .

Demostración. Sea un vector de , entonces tiene una representación
única en la forma , donde $a_{i}$ . $\in K$ y $x_{i}\in X$ , $\,1\leq i\leq n$ (Proposición 5, Capítulo 1). Se define por

Nótese que es una transformación lineal: sea otro vector de $V\,$ , $b_{i}\in K$ y $z_{i}\in X$ , $\,1\leq i\leq n\,$ ; si , entonces la representación de en la base es , de donde
$T\,(u)+T\,(v)$ . Supóngase que y tienen elementos en común; sin perdida de generalidad se puede suponer que $r\leq n\leq m$ , y entonces se puede expresar a en la forma

, de donde se obtiene que la representación de en la base es

Se tiene entonces que

De otra parte, si $a\in K$ , entonces , con lo cual .

Finalmente, es obvio que es una extensión de , y cualquier transformación lineal que coincida con en la base es igual a la transformación que se definió arriba. Esto completa la prueba del teorema. $\Box$