SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 2.

NÚcleo e Imagen

Ejercicio 2. Sea un espacio vectorial de dimensión finita $n\geq 1$ y sean $V_{1}$ y $V_{2\text{ }}$ subespacios de tales que . Demuestre que existe una transformación lineal $T:\,V\rightarrow V$ tal que $N(T\,)=V_{1}$ e $Im\,(T\,\,)=V_{2}.$

Solución. Si $\dim (V_{1})=0$ , entonces $\dim (V_{2})=n$ y $V_{2}=V,$ en tal caso la transformación $T:\,V\rightarrow V$ es la idéntica. Si $\dim (V_{1})=n$ , entonces $V_{2}=0$ y en este caso Sopóngase entonces que $0<\dim (V_{1})<n$ . Sea una base de $V_{1}$ y una base de $V_{2}$ . Completamos entonces la base hasta una base de . La transformación entonces se define por y Es calro que $N(T)=V_{1}$ e