SEDE BOGOTA

matrices

Lección 2.

Transformaciones Lineales y Matrices

Sean y dos espacios vectoriales sobre un cuerpo con dimensiones $n,m\geq 1$ , respectivamente. El objetivo central de esta lección es demostrar que el espacio $L_{K}(V,W)$ es isomorfo a $M_{mn}(K)$ . La prueba se realiza estableciendo una función que asigna a cada transformación lineal de $L_{K\,}(V,W)$ una matriz de $M_{mn}(K)$ ; se demuestra que esta función es una transformación lineal biyectiva. Cuando , se demuestra que el álgebra $L_{K}(V)$ es isomorfa a $M_{n}(K)$ .

Teorema 1. Sean y dos espacios vectoriales sobre un cuerpo con dimensiones $n,m\geq 1$ , respectivamente. Entonces, .

Demostración

Corolario 1. Sean y dos espacios vectoriales sobre un cuerpo con dimensiones $n,m\geq 1$ , respectivamente. Entonces, $dim(L_{K}(V,W))=mn$ .

De la demostración del Teorema 1 se deduce que la matriz asociada a la transformación lineal nula es la matriz nula ; además, si , entonces la matriz asociada a la transformación lineal idéntica de es la matriz idéntica. Otra consecuencia inmediata de la prueba del Teorema 1 es la siguiente proposición.

Proposición 4. Sean y espacios vectoriales sobre el cuerpo , de dimensiones y , respectivamente. Sean $T:V\rightarrow W$ y $S:W\rightarrow U$ transformaciones lineales , bases de y , respectivamente. Si $A=m_{X,Y\,}(T)$ es la matriz de en las bases y $B=m_{Y,Z}(S)$ es la matriz de en las bases , entonces es la matriz de en las bases . En otras palabras, la matriz de una compuesta de transformaciones lineales es el producto de las matrices que representan dichas transformaciones.

Si , entonces se acostumbra a tomar , y en tal caso se denota por por $m_{X}$ el isomorfismo del Teorema 1. $\text{N\U{f3}tese}$ que $T,S\in L_{K}\,(V)$ y .

Ya está probado el siguiente teorema.

Teorema 2. Si es un -espacio vectorial de dimensión finita $n\geq 1$ , entonces $L_{K}\,(V)$ y $M_{n}(K)$ son álgebras isomorfas, en el siguiente sentido: existe una transformación lineal biyectiva $m_{X}$ que satisface las siguientes condiciones:

1) , para cualesquiera $T,S\in L_{K}\,(V)$ .

2) $m_{X\,}(I_{V})=E$ , donde es la matriz idéntica de orden .

Se debe notar que un álgebra es un espacio vectorial con estructura de anillo, de tal forma que se pueden considerar los grupos de elementos invertibles de las álgebras $L_{K}\,(V)$ y $M_{n}(K)$ ; estos grupos se denotan por $GL_{K}(V)$ y $GL_{n}(K)$ , y se conocen como el grupo lineal general de automorfismos del espacio y el grupo lineal general de orden sobre , respectivamente. Nótese que $GL_{K}(V)$ es el grupo de automorfismos definido en Proposición 2 del Capítulo 2. Se tiene entonces el siguiente resultado.

Corolario 2. Si es un -espacio vectorial de dimensión finita $n\geq 1$ , entonces $GL_{K}\,(V)$ y $GL_{n}(K)$ son grupos isomorfos, con isomorfismo definido por la restricción de la función $m_{X}$ del Teorema 2 al grupo $GL_{K}\,(V)$ . En particular, $T\in$ , donde es cualquier base de .