SEDE BOGOTA

matrices

Lección 3.

Rango de una Matriz

El rango de una transformación lineal de un espacio de dimensión finita se puede calcular por medio del rango de la matriz asociada a dicha transformación. En esta lección se estudia la noción de rango para matrices.

Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz de tamaño $m\times n$ , cada columna $A^{(j)}$ de se puede considerar como un vector de $K^{m}$ , de tal forma que el rango de A de define como la dimensión de la envolvente lineal de las columnas de $A\,$ , es decir,

Proposición 5. Sean y dos -espacios de dimensiones $n\geq 1$ y $m\geq 1$ , respectivamente. Sea $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal y la matriz de T en las bases de y , respectivamente. Entonces, dimensión

Demostración

Sea una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ , según el paso 2 de la demostración del Teorema 1, se puede suponer que es la matriz de una transformación lineal en una cierta base de $K^{n}$ , por ejemplo, en la base canónica de $K^{n}$ . Aplicando la proposición anterior, el Teorema 2 , el Corolario 2 y Ejercicio 3 de Capítulo 2, se obtiene el siguiente corolario.

Corolario 3. a) Una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ es invertible si y sólo si .

b) Sean y matrices cuadradas de orden $n\geq1$ , entonces , y . Además, si es invertible, entonces ; también, si es invertible, entonces

Ejercicio 2. Sea la canónica de $\QTR{bf}{R}^{3}$ y la función definida por

MATH

Demuestre que induce una única transformación lineal . Calcule y la dimensión del núcleo de .

Solución

Ejercicio 3. Sea el espacio de funciones derivables en $\QTR{bf}{R}$ y la envolvente lineal de las funciones , . Si $D:V\rightarrow V$ es el operador derivación,

a) Demuestre que $D(U)\subseteq U$ .

b) Demuestre que es L I.

c) Calcule las matrices de y $D^{2}$ en la base de .

d) Calcule .

Solución