SEDE BOGOTA

matrices

Lección 4.

Cambio de Base

Sean y dos -espacios de dimensiones $n\geq 1$ y $m\geq 1,$ respectivamente. En el Teorema 1 se vió como asociar a cada transformación lineal $T:V\rightarrow W$ una matriz de tamaño $m\times n$ fijando un par de bases en y en . Es lógico pensar que al cambiar de bases la matriz de la transformación también cambie. En esta lección se estudia la relación entre las matrices de una misma transformación calculadas en diferentes bases.

Se tiene el siguiente preliminar.

Proposición 6. Sea un -espacio de dimensión $n\geq 1$ y , bases de . Entonces, cada vector $z_{j}\,$ se puede representar como una combinación lineal de los vectores de la base

, $1\leq j\leq n$ ,

dando origen a una matriz cuadrada invertible $C=[c_{ij}]$ de orden . se denomina la matriz de cambio de la base a la base . Además, $C^{-1}$ es la matriz de cambio de la base a la base .

Demostración

El cambio de base se puede expresar "matricialmente" de la siguiente manera:

MATH $C^{T}\,$ MATH

Usando esta notación matricial es fácil probar la siguiente proposición.

Proposición 7. Sea un -espacio de dimensión $n\geq 1$ , una base de y una matriz invertible de orden . Entonces es una base de , donde

MATH

Ya se puede enunciar el teorema de cambio de base.

Teorema 3. Sea $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal, donde $\dim (V)=n\geq 1$ y $\dim (W)=m\geq 1$ . Sean bases de y bases de . Si es la matriz de en las bases $X_{1},Y_{1}$ , y es la matriz de en las bases $X_{2},Y_{2}$ , entonces

$B=D^{-1}AC,$

donde es la matriz de cambio de la base $X_{1}$ a la base $X_{2}$ y es la matriz de cambio de la base $Y_{1}$ a la base $Y_{2}$ .

Demostración

En el caso en que , se acostumbra tomar solo un par de bases en , es decir, . El teorema anterior toma entonces la siguiente forma.

Corolario 3. Sea un espacio vectorial de dimensión finita $n\geq 1$ y sean bases de . Sea $T:V\rightarrow V$ es una transformación lineal , $A=m_{X}(T)$ y $B=m_{Y}(T)$ . Entonces

$B=C^{-1}AC,$

donde donde es la matriz de cambio de la base a la base .

Si el lector conoce una manera de calcular la inversa de una matriz, entonces puede emprender ya la solución de los siguientes ejercicios, en caso contrario debe pasar a la

Lección 6.

Ejercicio 4. Sea