SEDE BOGOTA

matrices

Lección 4.

Cambio de Base

Proposición 6. Sea un -espacio de dimensión $n\geq 1$ y , bases de . Entonces, cada vector $z_{j}\,$ se puede representar como una combinación lineal de los vectores de la base

, $1\leq j\leq n$ ,

dando origen a una matriz cuadrada invertible $C=[c_{ij}]$ de orden . se denomina la matriz de cambio de la base a la base . Además, $C^{-1}$ es la matriz de cambio de la base a la base .

Demostración. De acuerdo al Corolario 3 , basta probar que el rango de es , es decir, que las columnas de son L I. Sean tales que , se tienen entonces las relaciones

MATH

Considérese ahora la combinación lineal

de donde,

De otra parte, sea $D=[d_{ij}]$ la matriz de cambio de a , es decir,

, $1\leq j\leq n$ ,

reemplazando (2) en (1) resulta entonces que

para cada $1\leq j\leq n$ , es decir, si $i\neq j$ y si En otras palabras, (véase el producto de matrices definido en la primera lección del presente capítulo). Remplazando (1) en (2) se obtiene que . Esto completa la demostración de la proposición.

Como cierre de la prueba se debe hacer la siguiente observación: si es el vector de coordenadas del vector $v\in V$ en la base y es el vector de coordenadas de en la base , entonces

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