Álgebra Lineal
Profesor: Oswaldo Lezama
matrices

 Lección 3. 
   Rango de una Matriz

Ejercicio 2.Sea MATH la canónica de $\QTR{bf}{R}^{3}$ y MATH la función definida por

MATH

Demuestre que $t$ induce una única transformación lineal MATH. Calcule $rank(T)$ y la dimensión del núcleo de $T$.

Solución. Si la función $t$ actua sobre una base, entonces de acuerdo al Teorema 2 del Capítulo 2, $t$ induce una única transformación lineal $T$. Pero efectivamente MATH es una base de R$^{3} $, lo cual se puede verificar observando que estos tres vectores son LI. Entonces para la transformación lineal $T$ se tiene que:

MATH

MATH

MATH

Pero como $T$ es lineal se puede hacer lo siguiente: MATH, es decir, MATH.

Similarmente, MATH, de donde MATH.

La matriz de $T$ en la base canónica es:

MATH,

Mediante el SWP se encuentra que $rank(A)= 2$, luego el rango de $T$ es también $2$.

Mediante el Teorema 1 del Capítulo 2 se encuentra que $\dim N(T)=1$.▫

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