SEDE BOGOTA

espacios duales

Lección 1.

El Dual de un Espacio Vectorial

Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo . Puesto que es un -espacio vectorial, tiene sentido considerar transformaciones lineales de en El presente capítulo estudia tales transformaciones lineales.

Una transformación lineal $T:V\rightarrow K$ se dice que es un funcional del espacio . Algunos ejemplos de funcionales son los siguientes.

Ejemplo 1. Sea $M_{n}(K)$ el espacio de matrices cuadradas de orden $n\geq 1$ sobre el cuerpo K. La función traza definida por

es un funcional sobre el espacio $M_{n}(K)$ . De otra parte, sea es espacio de los polinomios con coeficientes en y sea un elemento fijo de . Entonces, la función que evalua cada polinomio de en el punto es un funcional. Finalmente, sea el espacio de funciones continuas en el intervalo cerrado , la integral definida $\int_{a}^{b}f(x)dx$ establece un funcional sobre el espacio

En el Capítulo 3 estudiamos el espacio $L_{K}(V,W)$ de transformaciones lineales del espacio en el espacio $W\,$ ; tomando se obtiene el espacio de funcionales de en el cual denotamos por $V^{\ast }$ y se conoce con el nombre de espacio dual del espacio . Si es de dimensión finita $n\geq 1$ , entonces según el Corolario 1 del Capítulo 3 se tiene que $\dim (V^{\ast })=n$ , y en consecuencia, $V^{\ast }\cong V.$ La siguiente proposición muestra de manera explícita una base de $V^{\ast }$ a partir de una base de

Proposición 1. Sea un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ y sea una base de . Entonces, existe una única base $X^{\ast }=\{$ en $V^{\ast }$ tal que

MATH

Además, para cada funcional $f\in V^{\ast}$ se cumple que

y para cada se tiene que

$X^{\ast }$ se conoce como la base dual de .

Ejercicio 1. Sea la base de $\QTR{bf}{R}^{3}$ definida por $v_{1}=(1,0,-1),$ $v_{2}=(1,1,1),$ $v_{3}=(2,2,0)$ . Si es un vector cualquiera de $\QTR{bf}{R}^{3}$ , demostrar que

Solución

Ejercicio 2. Sea el espacio de polinomios de grado $\leq 2$ . Probar que los funcionales

conforman una base del dual de

Solución