SEDE BOGOTA

espacios duales

Lección 1.

El Dual de un Espacio Vectorial

Ejercicio 2. Sea el espacio de polinomios de grado $\leq 2$ . Probar que los funcionales

conforman una base del dual de

Solución La base canonica de $\QTR{bf}{R}_{2}[x]$ es $\{1,x,x^{2}\}$ , la cual tiene $\text{dimension}$ 3, con lo cual la base del espacio dual de $\QTR{bf}{R}_{2}[x]$ también tiene $\text{dimension 3}$ . Por lo tanto, basta determinar si los funcionales $f_{1}(p(x))$ , $f_{2}(p(x))$ y $f_{3}(p(x))$ son linealmente independientes.

Sea , aplicamos esta relación a los vectores de la base canonica $\{1,x,x^{2}\}$ :

Para el polinomio tenemos

Para el polinomio tenemos:

Para el polinomio $x^{2}$ tenemos:

A partir de lo anterior podemos construir el sistema matricial

MATH

El rango de la matriz de este sistema es igual a con lo cual y entonces los funcionales $f_{1}$ , $f_{2}$ y $f_{3}$ son linealmente independientes y conforman una base para el espacio dual de \

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