Álgebra Lineal
Profesor: Oswaldo Lezama
espacios con producto interno

 Lección 5. 
   Transformaciones y Matrices Adjuntas

Proposición 7. Sea $V$ un espacio con producto interno y sea $v$ un vector fijo de $V$. Entonces la función

MATH

MATH

es un funcional de $V$, es decir, $f_{v}\in V^{\ast }$. Si $V$ es de dimensión finita, entonces es válido el recíproco, es decir, dado $f\in V^{\ast }$ existe un único vector $v\in V$ tal que $f=f_{v}$, luego $f(u)=(u,v)$ para cada $u\in V$.

Demostración. Claramente $f_{v}$ es una transformación lineal. Sea MATH una base ortonormal de $V$, entonces dado $f\in V^{\ast }$ definimos el vector MATH; se tiene pues que MATH para cada $1\leq j\leq n$. Esto implica que $f=f_{v}$. Sea $w$ otro vector tal que $f=f_{w}$, entonces

MATH

MATH

con lo cual $v=w.$ $\Box$

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