SEDE BOGOTA

polinomio caracteristico

Lección 1.

Valores y Vectores Propios

En el Capítulo 3 se vió que cada transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ se puede representar por medio de una matriz de orden , la cual permite conocer propiedades de la transformación , por ejemplo, es claro que es invertible si y sólo si $\det (A)\neq 0$ ( $\text{v\U{e9}ase}$ el el Corolario 1 del capítulo anterior). Si la matriz tiene un aspecto sencillo es muy fácil obtener información de a partir de ella. La forma más simple que puede tener una matriz es la forma diagonal. En $\text{este}$ capítulo se estudian criterios para diagonalizar matrices.

Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación de un -espacio , un escalar $a\in K$ se dice que es un valor propio de la transformación si existe un vector no nulo $v\in V$ tal que $T(v)=a\,.\,v$ . En tal caso se dice que es un vector propio de perteneciente al valor propio . $\text{N\U{f3}tese}$ que un vector propio solo puede pertenecer a un solo valor propio.

Ejemplo 1. Para la transformación lineal $\QTR{bf}{R}^{2}$ definida por $T(x,y)=(2x,3y),\,$ es un valor propio con vector propio ; es también un valor propio de con vector propio .

Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal y $a\in K$ , el conjunto

es un subespacio de ; nótese que $E(a)\neq 0$ si y sólo si es un valor propio de , en tal caso se denomina el espacio propio de correspondiente al valor propio .

Ejemplo 2. Sea el operador derivación definido sobre el espacio de funciones reales cuyas derivadas de cualquier orden existen, y sea $a\in \QTR{bf}{R}$ , entonces

Ejemplo 3. Existen transformaciones lineales sin valores propios, es decir, , para cada $a\in K$ . En efecto, la transformación $\QTR{bf}{R}^{2}$ definida por

no tiene valores propios.

Proposición 1. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio . Sean valores propios diferentes con vectores propios , respectivamente. Entonces son L I. En particular, si es de dimensión finita $n\geq 1$ , entonces tiene a lo sumo valores propios diferentes. Si tiene exactamente valores propios diferentes, entonces es una base de .

Demostración

El recíproco de la proposición anterior no es siempre cierto, por ejemplo, si $T=I_{V}\,,$ cualquier base de pertenece a que es el único valor propio de $I_{V}.$

Ejemplo 4. Sea el conjunto de polinomios con coeficientes en el cuerpo , y sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal. Entonces para cada polinomio $p(x)\in K[x]$ se tiene que es una transformación lineal de en , además si $a\in K$ es un valor propio de con vector propio , entonces es un valor propio de con vector propio En tal caso, si es raíz de , y si no es $\text{ra\U{ed}z}$ de .

Solución