SEDE BOGOTA

polinomio caracteristico

Lección 2.

Polinomio Característico

En el Capítulo 4 se definió la teoría de determinantes para matrices con entradas en un cuerpo, sin embargo la invertibilidad de los elementos del cuerpo no fue usada en la construcción. Esto indica que se puede desarrollar la teoría de determinantes para matrices con entradas en un anillo conmutativo, por ejemplo, con entradas polinómicas. Esta observación permite definir un invariante muy importante de una transformación lineal de un espacio de dimensión finita: su polinomio característico. Comencemos por definir el polinomio característico de una matriz cuadrada.

Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ sobre un cuerpo . Se define el polinomio característico de por

MATH

Nótese que efectivamente $p_{A}(x)\in K[x].$ Se puede probar facilmente que para $p_{A}(x)$ se tienen las siguientes propiedades:

a) $p_{A}(x)$ es un polinomio de grado .

b) Siendo , entonces se tiene que y $p_{n}=1$ .

c) Matrices similares tienen el mismo polinomio característico. El recíproco de esta afirmación no es siempre cierto, como lo ilustran las matrices

MATH y MATH

d) Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq1.$ Entonces se define el polinimo característico de como el polinomio característico de la matriz de en cualquier base, y se denota por $p_{T}(x)$ . En otras palabras, el polinomio característico de es un invariante de que no depende de la base elegida en y se tiene que $p_{T}(x)=p_{A}(x)$ , donde $A=m_{X}(T)$ y es cualquier base de .

El polinomio característico es un instrumento para determinar los valores propios de una transformación lineal.

Proposición 2. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ y sea $\QTR{bf}{a\in K}$ . Entonces, es un valor propio de si y sólo si es raíz del polinomio de , es decir, $p_{T}(a)=0.$

Insistimos en que este resultado es válido para valores $\QTR{bf}{a\in K.}$ Podría ocurrir que las raíces del polinomio característico no pertenecieran al cuerpo , por ejemplo, en el caso en que sea el cuerpo de números reales y todas las raíces de $p_{T}(x)$ fueran complejas (véase el Ejemplo 3 de la lección anterior), entonces no tendríamos valores propios.

Un cuerpo se dice algebraicamente cerrado si todas las raíces de todos sus polinomios pertenecen a , por ejemplo, el cuerpo $\QTR{bf}{C}$ de números complejos es algebraicamente cerrado, en cambio, el cuerpo $\QTR{bf}{R}$ de números reales no lo es.

Corolario 1. Sea un cuerpo algebraicamente cerrado y sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal del -espacio de dimensión finita $n\geq 1.$ Entonces, tiene valores propios (no necesariamente diferentes) correspondientes a las raíces de su polinomio característico.

Sea una matriz cuadrada de orden $n\geq1$ , un elemento $a\in K$ se dice que es un valor propio de si existe una matriz columna no nula tal que . La teoría de valores y vectores propios para matrices está relacionada de manera obvia con la correspondiente teoría para transformaciones lineales.

Corolario 2. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un -espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Sea una base de , $A=m_{X}(T)$ y $a\in K.$ Entonces, es un valor propio de si y sólo si es un valor propio de Mas exactamente, es un vector propio de perteneciente al valor propio si y sólo si es un vector propio de perteneciente al valor propio