SEDE BOGOTA

polinomio caracteristico

Lección 3.

Matrices Diagonalizables

Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz de orden $n\geq 1$ . Se dice que es una matriz diagonal si $a_{ij}=0$ para $i\neq j$ . Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Se dice que es diagonalizable si existe una base en tal que $m_{X}(T)$ es una matriz diagonal. Una matriz de orden $n\geq 1$ se dice que es diagonalizable si es similar a una matriz diagonal. Teniendo en cuenta que matrices que representen la misma transformación lineal son similares, se tiene el siguiente resultado.

Proposición 3. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ y sea una base cualquiera de . Entonces, es diagonalizable si y sólo si $m_{X}(T)$ es diagonalizable.

En términos de vectores propios se tiene el siguiente criterio obvio de diagonalización.

Teorema 1. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1.$ es diagonalizable si y sólo si tiene una base constituida por vectores propios.

Según la Proposición 1 y el Corolario 2 se tiene el siguiente corolario.

Corolario 3. Sea una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ . Entonces,

a) es diagonalizable si y sólo si tiene vectores propios L I

b) Si tiene valores propios diferentes, entonces es diagonalizable.

El recíproco de la parte b) del corolario anterior no siempre se cumple: la matriz idéntica es diagonal, sin embargo sus valores propios coinciden y son iguales a .

Proposición 4. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1.$ Sean los valores propios diferentes para , $1\leq r\leq n$ , y los subespacios propios correspondientes. Entonces, la suma es directa. En consecuencia,

Demostración

Podemos probar ahora un criterio de diagonalización en términos del polinomio característico y de los espacios propios.

Teorema 2. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1.$ Sean los valores propios diferentes para , $1\leq r\leq n$ , y los subespacios propios correspondientes. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes:

a) es diagonalizable.

b) El polinomio característico de es de la forma

donde

Demostración

Ejercicio 1. Determinar si las siguientes matrices son diagonalizables. En caso afirmativo encontrar una matriz que diagonalice:

MATH

Ejercicio 2. Determinar los valores y vectores propios del operador derivacion sobre el espacio $\QTR{bf}{R}_{n}[x]$ . ¿ Es este operador diagonalizable ?