SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 6.

Suma Directa Interna de Subespacios

En esta lección se estudia la suma de subespacios de un espacio vectorial y se analiza el caso particular cuando dicha suma sea directa, es decir, cuando la representación de los vectores del subespacio suma sea única en términos de sus sumandos.

En la Lección 3 del Capítulo 1 se estudió la intersección de subespacios de un espacio vectorial y se definió a partir de ella la envolvente lineal de un subconjunto de vectores de Sean ahora subespacios de , se define la suma de los subespacios por

y coincide, por lo tanto, con el menor subespacio de que contiene a cada uno de los subespacios Es obvio que el subespacio suma se puede caracterizar también de la siguiente manera:

La suma de una colección arbitraria de subespacios del espacio se define de forma , pero no se haraá uso de ella en este curso. Se menciona a continuación una lista amplia de propiedades de las operaciones de suma e intersección de subespacios, cuyas demostraciones no son difíciles:

si ó

Además de lo anterior, se tienen las siguientes relaciones entre las dimensiones de los subespacios suma e intersección.

Proposición 3. Sea un espacio vectorial y subespacios de de dimensión finita. Entonces

, para cada $1\leq i\leq n$

Además, si es de dimensión finita y es un subespacio de , entonces existe un subespacio $U\,\U{b4}$ tal que

$U\,\U{b4}$ se denomina el complemento de en

Ejemplo 8. Sean $X_{1},X_{2}$ sunconjuntos de un espacio , y sean . Puesto que entonces una base de $<X_{1}\cup X_{2}>$ es una base para $V_{1}+V_{2}$ . Se quiere ahora mostrar como se consigue una base para $V_{1}\cap V_{2}.$ Si $V_{1}=0$ ó $V_{2}=0$ , entonces $V_{1}\cap V_{2}=0$ y $\emptyset$ es una base para la intersección. Sea entonces una base de $V_{1}$ y una base de $V_{2}$ ; si $V_{1}\cap V_{2}=0$ , entonces $\emptyset$ es una base para la intersección. Si , entonces es una base para la intersección, , entonces es una base para la intersección. Descartando entonces los casos triviales anteriores y por lo anotado en la primera parte del ejemplo, sea una base de $V_{1}+V_{2}$ , $1\leq s\leq m-1.$ Los vectores se pueden expandir a través de la base $X\,\U{b4}:$

Se puede probar facilmente que entonces el conjunto de vectores

conforma una base para $V_{1}\cap V_{2}.$

La suma $V_{1}+\cdots+V_{n}$ de una colección de subespacios de un espacio puede coincidir con dicho espacio, de tal forma que cada elemento $v\in V$ se pueda representar en la forma con $v_{i}\in V_{i}$ , $1\leq i\leq n$ . Sin embargo, es posible que dicha representación para el vector no sea única. Por ejemplo, si y los subespacios $V_{1},V_{2}$ tienen un vector no nulo en común, entonces el vector nulo se puede escribir en dos formas diferentes: Esta situación no se presenta cuando la suma de los subespacios es directa. A continuación se estudia la suma directa de subespacios.

Sea una colección finita de subespacios de un espacio , se dice que la suma es red directa si cada elemento tiene una representación única en la forma , donde $v_{i}\in V_{i}$ , $1\leq i\leq n$ . Nótese que la unicidad de la representación de cada elemento es equivalente a la unicidad de la representación del vector nulo de a través de sumandos nulos. La suma directa de subespacios se simboliza por Se dice que un espacio es suma directa de los subespacios si

Proposición 4. Sea una colección finita de subespacios de un espacio Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

b) y para cada $1\leq i\leq n-1$ se cumple que

$V_{i}\cap($

Se probará ahora que si , entonces reuniendo bases de se obtiene una base de

Proposición 5. Sea una colección finita de subespacios de un espacio con bases , respectivamente Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: