SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 7.

Ejercicios

Esta sección contiene una lista de ejercicios de aplicación a los temas tratados en el presente capítulo. Se sugiere a los estudiantes resolver estos problemas, los cuales ayudarán a reforzar el aprendizaje.

Sea esta la oprtunidad para ratificar la disponibilidad de los profesores para resolver cualquier duda sobre la temática del presente curso. Sus preguntas y comentarios pueden ser enviados via e-mail o también también usando la página de visitantes en donde podrán usar un formato especialmente diseñado para tal efecto.

Problema 1. Investigar la veracidad de la siguiente afirmación: sea una transformación lineal y sean sistemas equivalentes de vectores (ver el Capítulo 1). Entonces son sistemas equivalentes de vectores.

Problema 2. En relación con el Teorema 2, investigar la veracidad de la siguiente afirmación: sean dos -espacios y sean sistemas de vectores en y , respectivamente. Existe una transformación lineal de en tal que $T(x_{i})=y_{i}$ , para cada $i=1,2,\dots ,n$ .

Problema 3. En el espacio real de polinomios de grado $\leq n$ (ver el Ejemplo 15 del Capítulo 1 ) definir dos transformaciones lineales diferentes que coincidan con el operador de derivación en el subespacio .

Problema 4. Sea un real no nulo y sea $T_{h}$ la función definida sobre el espacio de la siguiente manera:

Demostrar que es una transformación lineal. Calcular su núcleo y su imagen. Calcular la dimensión de estos subespacios.

Problema 5. Sean dos -espacios, un vector no nulo de y una base de . Si $T_{i}$ son transformaciones lineales de en tales que $T_{i}(x)=y_{i}$ , entonces es linealmente independiente.

Problema 6. Sea un espacio vectorial y dos transformaciones lineales de . Si , entonces siempre se tiene que ?

Problema 7. Sea un -espacio vectorial y una transformación lineal de de rango . Demostrar que existe un escalar $a\in K$ tal que $T^{2}=a.T$ .

Solución

Problema 8. Sea un -espacio vectorial y una transformación lineal de de rango . Demostrar que al menos una de las transformaciones ó es invertible.

Problema 9. Sea transformaciones lineales de un espacio con invertible. Demostrar que .

Problema 10. Sea un -espacio vectorial, una transformación lineal de y un polinomio que se anula en , es decir, la transformación lineal polinómica es nula. Si el término independiente $p_{0}$ de es no nulo, entonces es invertible.

Problema 11. Mostrar un ejemplo de transformación lineal que sea inyectiva pero no sobreyectiva. También, mostrar un ejemplo de transformación lineal no nula que seasobreyectiva pero no inyectiva.

Problema 12. Sea un -espacio vectorial y sea un subespacio de . Dado $v\in V$ denotemos por $\overline{v}$ el subconjunto de definido por . Denotemos por la colección de todos estos subconjuntos, es decir, . Demostrar que:

(i)

(ii) es un -espacio vectorial respecto de las siguientes operaciones:

MATH

(iii) Si es de dimensión finita, entonces

Solución

Problema 13. Demostrar el teorema de homomorfismo para espacios vectoriales: sea $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal. Entonces se tiene el siguiente isomorfismo de espacios vectoriales: .

Solución

Problema 14. Sea un espacio vectorial de dimensión finita y $V_{1},V_{2}$ subespacios de . Demostrar que .

Solución

Problema 15. Encontrar subespacios $V_{1},V_{2},V_{3}$ de $\QTR{Bbb}{R}^{3}$ tales que $V_{1}+V_{2}+V_{3}=$ $\QTR{Bbb}{R}^{3}$ pero la suma no es directa.

Solución

Problema 16. Dar un ejemplo de transformación que sea inyectiva pero no sobreyectiva y también de una transformación que sea sobreyectiva pero no inyectiva.

Solución

Problema 17. Sea un -espacio vectorial. Una involución de es una transformación lineal $T:V\rightarrow V$ tal que $T^{2}=I_{V}$ . Si $2\neq0$ en y es una involución, entonces demostrar que donde y .

Problema 18. Sea un espacio vectorial de dimensión finita. Demostrar que existe un endomorfismo $T:V\rightarrow V$ tal que es par.

Solución

Problema 19. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal tal que $T^{k}=0$ para algún entero positivo . Si para un cierto vector no nulo $v\in V$ , entonces el conjunto es LI.

Solución

Problema 20. Sea

una secuencia de transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita tal que la imagen de cada transformación coincide con el núcleo de la siguiente, es decir, , $1\leq i\leq 2n-1$ y . Demostrar que .

Solución