SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 7.

Ejercicios

Problema 13. Demostrar el teorema de homomorfismo para espacios vectoriales: sea $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal. Entonces se tiene el siguiente isomorfismo de espacios vectoriales: .

Solución. Definimos la función por donde $x\in V$ . Lo primero que debemos demostrar es que la función $\overline {T}$ está bien definida, es decir, si , entonces se debe cumplir que :

se tiene que $x-y\in N(T)$ , luego , por tanto , es decir, .

Veamos ahora que $\overline{T}$ es una transformación lineal:

Finalmente, veamos que $\overline{T}$ es una función biyectiva: sea , entonces es decir, $x\in N(T)$ , luego . Ahora nótese que la función $\overline{T}$ es obviamente sobreyectiva.