SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 7.

Ejercicios

Problema 12. Sea un -espacio vectorial y sea un subespacio de . Dado $v\in V$ denotemos por $\overline{v}$ el subconjunto de definido por . Denotemos por la colección de todos estos subconjuntos, es decir, . Demostrar que:

Solución. (i) Si entonces $v+U=v^{\prime}+U$ luego y entonces por tanto Veamos ahora el recíproco: debemos demostrar que $v+U=v^{\prime}+U$ : sea $v+x\in v+U$ entonces . Hemos demostrado que . Sea ahora entonces

, luego hemos probado la otra inclusión, es decir, y de esta manera se tiene que $v+U=v^{\prime}+U$ .

(ii) Veamos que la operación de suma está bien definida:sea y entonces debemos ver que : , entonces

, es decir, .

Ahora revisemos las propiedades de la suma de vectores: la asociatividad y la conmutatividad son consecuencia de las respectivas propiedades de la suma de vectores en El cero del espacio cociente es

El opuesto del vector $\overline{v}$ es $\overline{-v}$ . De la misma forma se demuestra que la operación de escalar por vector está bien definida y además se cumplen las otras propiedades de espacio vectorial:

(iii) Sea $\dim(V)=n$ , $\dim(U)=m\leq n$ , sea una base de , según la Prop 9 del Capítulo 1, esta base se puede completar hasta una base de . Vamos a probar que el conjunto